Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct
Inproduct
De twee grootheden die een vector bepalen zijn lengte en richting. Om de richting vast te leggen, werken we met hoeken. De cosinus van de hoek die twee vectoren onderling maken, is terug te vinden in onderstaande definitie van het inproduct.
Het inproduct
Het inproduct van twee vectoren #\vec{u}# en #\vec{v}# is een getal, dat genoteerd wordt als #\dotprod{\vec{u}}{\vec{v}}# en gedefinieerd is als
\[
\dotprod{\vec{u}}{\vec{v}}= \parallel\vec{u}\parallel\cdot \parallel\vec{v}\parallel \cdot \cos(\varphi )
\]
waarbij #\varphi# de hoek is die de twee vectoren #\vec{u}# en #\vec{v}# met elkaar maken als #\vec{u}# en #\vec{v}# ongelijk aan de nulvector zijn. Is een van beide vectoren de nulvector, dan is het inproduct per definitie gelijk aan #0#.
De hoek #\varphi# is de korte hoek die #\vec{u}# en #\vec{v}# maken; preciezer: die twee representanten van de deze vectoren met hetzelfde beginpunt maken. In het bijzonder geldt #0^\circ\leq\varphi\leq180^\circ#. De georiënteerde hoek, die in het vlak goed gedefinieerd is door de oriëntatie "tegen de klok in", is in de ruimte niet bepaald: het is immers niet goed vast te leggen of we een vlak van boven of van onder bekijken; hierdoor is afspraak over de oriëntatie niet te maken.
Hebben de vectoren #\vec{u}# en #\vec{v}# bijvoorbeeld allebei lengte #4# en is de hoek tussen de twee vectoren gelijk aan #60^{\circ}#, dan is
\[\dotprod{\vec{u}}{\vec{v}} = 4\cdot 4\cdot \cos\left( 60^{\circ}\right) = 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2} = 8
\]
Bij een hoek van #120^{\circ}# wordt het inproduct #-8#. In het bijzonder kan het inproduct negatief zijn.
In de literatuur komen ook andere notaties voor, zoals #\left(\vec{u},\vec{v}\right)# of #\langle\vec{u},\vec{v}\rangle#.
Het inproduct wordt ook wel inwendig product of scalair product genoemd.
Als je het inproduct van twee vectoren (ongelijk #\vec{0}#) kent en hun lengtes, dan kun je de cosinus van de hoek tussen de vectoren berekenen:
\[\cos (\varphi) = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot \parallel\vec{v}\parallel}\tiny.\] Zodra we het inproduct in coördinaten hebben uitgedrukt en een formule hebben gevonden om het introduct uit te rekenen, is dit een zeer bruikbare rekenmethode. Hier is nog een goede regel om het inproduct te berekenen.
Het inproduct als product van twee lengtes
Laat #\vec{u}# en #\vec{v}# twee vectoren zijn, zodat #\vec{u}# niet de nulvector is, laat #\ell# een lijn zijn met richtingsvector #\vec{u}#, en laat #A# en #B# twee punten in de ruimte zijn, zodat #\vec{AB}# een representant van #\vec{v}# is. Als #P# en #Q# de loodrechte projecties van #A# respectievelijk #B# op #\ell# zijn, dan geldt \[\vec{PQ}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel^2} \cdot\vec{u}\]In het bijzonder hangt deze vector niet van de keuze van de plaatsing van #\vec{v}# of #\ell# in de ruimte af en is het inproduct #\dotprod{\vec{u}}{\vec{v}} # als volgt te bepalen:
- #\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|=\parallel\vec{PQ}\parallel\cdot\parallel\vec{u}\parallel#;
- het teken van #\vec{u}\cdot\vec{v}# is niet-negatief als #\vec{u}# en #\vec{PQ}# in dezelfde richting wijzen, en negatief als dat niet het geval is.
Veronderstel eerst dat #A# op #\ell# ligt. Dan geldt #A=P# en is #\triangle ABQ# een rechthoekige driehoek. Laat #\varphi# de hoek zijn tussen de vectoren #\vec{v}=\vec{AB}# en #\vec{u}#. Dan is \[\vec{PQ}=\varepsilon \cdot \frac{\parallel \vec{PQ}\parallel}{\parallel \vec{u}\parallel}\vec{u}\tiny,\] waarbij #\varepsilon=1# als #\vec{PQ}# en #\vec{u}# dezelfde richting op wijzen, en #-1# anders. Inspectie van de driehoek #\triangle ABQ# leert dat \[\cos(\varphi)=\varepsilon\cdot\frac{\parallel \vec{PQ}\parallel}{\parallel \vec{v}\parallel}\] Als #\vec{v}=\vec{0}#, dan zijn beide zijden van de te bewijzen gelijkheid de nulvector. Daarom mogen we aannemen dat #\vec{v}# niet de nulvector is, zodat #\parallel\vec{v}\parallel\ne0#. Hieruit concluderen we
\[\begin{array}{rcll}\vec{PQ}&=&\varepsilon \cdot \frac{\parallel \vec{PQ}\parallel}{\parallel \vec{u}\parallel}\cdot\vec{u}&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovenstaande formule voor }\vec{PQ}}\\ &=&\varepsilon\cdot\frac{\parallel \vec{PQ}\parallel}{\parallel \vec{v}\parallel}\cdot \frac{\parallel \vec{v}\parallel}{\parallel\vec{u}\parallel}\cdot\vec{u}&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{scalar herschreven }}\\&=&\cos(\varphi)\cdot \frac{\parallel \vec{v}\parallel}{\parallel \vec{u}\parallel}\cdot\vec{u}&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovenstaande formule voor }\cos(\varphi)}\\ &=& \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel} \cdot\frac{\parallel \vec{v}\parallel}{\parallel \vec{u}\parallel}\cdot\vec{u}&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{het inproduct in termen van lengtes}}\\&=& \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel^2} \cdot\vec{u}&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]Hiermee is de formule afgeleid in het geval dat #A# op #\ell# ligt. Als dit niet het geval is, dan vergelijken we de oorspronkelijke situatie met de situatie waarin de vector #\vec{v}# over #\vec{PA}# verschoven is. De projectie van het beginpunt van de nieuwe representant van #\vec{v}# is dan vanzelfsprekend #P# en de projectie van het eindpunt van de nieuwe representant van #\vec{v}# is dan weer #Q#, omdat #\vec{v}#, en dus ook #B#, verplaatst is in een richting loodrecht op #\ell#. De linker en rechter zijde van de te bewijzen formule in de nieuwe situatie wijken dus niet af van de oude situatie. Maar de gelijkheid is in de nieuwe situatie bewezen, en moet dus ook in de oude situatie gelden. Hiermee is het bewijs van de formule compleet.
De onafhankelijkheid van de vector #\vec{PQ}# van de plaatsing van #\vec{v}# zal later gebruikt worden.
Deze formule geeft dus een mogelijkheid het inproduct van twee vectoren te berekenen door de scalar te bepalen die voorkomt in de projectie van een van de twee vectoren op de lijn door de andere.
Immers, als #\varphi# de hoek tussen de vectoren #\vec{u}# en #\vec{v}# is, dan geldt \[\begin{array}{rcl}\vec{u}\cdot \vec{v} &=& \parallel\vec{u}\parallel\cdot \parallel\vec{v}\parallel \cdot \cos(\varphi )\\
&=& 2 \cdot 1 \cdot\cos\left(60^{\circ}\right)\\
&=& 2 \cdot \frac{1}{2}\\
&=& 1\\
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
