Orthonormale stelsels in complexe inproductruimten

Inproductruimten: Complexe inproductruimten

Orthonormale stelsels in complexe inproductruimten

Het inproduct op een complexe vectorruimte is niet symmetrisch, maar de relatie van loodrechte stand wel.

LoodrechtWe zeggen dat de vector #\vec{a} # loodrecht op de vector #\vec{b}# staat in een complexe inproductruimte #V# als #\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}=0#.

Deze relatie is symmetrisch; dat wil zeggen: als #\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}=0#, dan ook #\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}=0#.

2D Voorbeeld

De vector # \rv{1,\complexi}# staat loodrecht op # \rv{1,-\complexi}# in de inproductruimte #\mathbb{C}^2#, want

\[\dotprod{\rv{1,\complexi}}{\rv{1,-\complexi}} = 1\cdot \overline{1}+\complexi\cdot \overline{-\complexi} = 1+\complexi^2 = 0\]

Als #\vec{a}# loodrecht staat op #\vec{b}#, dan geldt #\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}=0#, zodat, vanwege Hermitesheid van het inproduct,

\[\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}=\overline{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}} = \overline{0} = 0\]

We concluderen dat #\vec{b}# loodrecht staat op #\vec{a}#.

Orthogonaal

In plaats van te zeggen dat ze loodrecht op elkaar staan, spreken we ook wel van orthogonaliteit van #\vec{a}# en #\vec{b}#. Deze term wordt ook gebruikt als het om meer vectoren gaat, zoals we hieronder zullen zien.

De volgende begrippen, die gaan over onderling loodrecht op elkaar staande vectoren, zijn directe uitbreidingen van het reële geval.

Orthogonale en orthonormale stelsels

Laat #\basis{\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_n}# een stelsel vectoren van een complexe inproductruimte #V# zijn.

Het stelsel heet orthogonaal als voor #1\leq i, j\leq n# met \( i\neq j\) geldt
\[ \dotprod{\vec{v}_i}{\vec{v}_j}=0\]
Het stelsel heet orthonormaal als voor #1\leq i, j\leq n# \[
\dotprod{\vec{v}_i}{\vec{v}_j}=\left\{\,\begin{array}{l}
0\ \text{als}\ i\neq j\\
1\ \text{als}\ i=j\
\end{array}\right.
\]

Als het stelsel #\basis{\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_n}# bovendien een basis van #V# is, spreken we van een orthonormale basis van #V#.

Standaardbasis

De standaardbasis in #\mathbb{C}^n# is orthonormaal.

3D VoorbeeldDe kolomvectoren van de matrix \[Q = \frac{1}{3}\matrix{2&\ii&2\,\ii\\ 2\,\ii&2&1\\ \ii&-2&2 }\] vormen een orthonormale basis voor #\mathbb{C}^3# (voorzien van het standaardinproduct). Deze uitspraak is equivalent met \[ Q^\top\, \overline{Q} =I_3\]

waarbij #\overline{Q}# de matrix is waarvan elk element de complex geconjugeerde van het overeenkomstige element van #Q# is. In het bijzonder is #Q# inverteerbaar met inverse #Q^* = \overline{Q^\top}#.

De eigenschappen van complexe orthonormale stelsels zijn even goed als die van reële orthonormale stelsels:

Eigenschappen orthonormale stelsels

Laat #V# een complexe inproductruimte zijn.

Orthonormale stelsels in #V# zijn onafhankelijk.
Als #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}# een orthonormale basis is van #V#, dan zijn de coördinaten van #\vec{x}# ten opzichte van deze basis achtereenvolgens #\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}, \ldots , \dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}#:\[\vec{x}=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\,\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\,\vec{a}_n\]
De lengte van #\vec{x}# is gelijk aan de lengte van de coördinaatvector van #\vec{x}# ten opzichte van het standaardinproduct:
\[\norm{\vec{x}}^2 ={\left|\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}\right|}^2 + \cdots + {\left|\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}\right|}^2\]
Schrijf de vectoren schrijven als lineaire combinatie van de basisvectoren:\[\vec{x}=\sum_{i=1}^n x_i\vec{a}_i\quad\text{ en }\quad \vec{y}=\sum_{i=1}^n y_i\vec{a}_i\] Dan is het inproduct #\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}# uit te drukken als \[\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}=\sum_{i=1}^n x_i\cdot\overline{y_i}\]

De bewijzen voor deze eigenschappen gaan net zo als voor het reële geval.

Laat de vector #\vec{x}^{\,*}=\rv{-\complexi,1-\complexi}# gegeven zijn in de inpoductruimte #\mathbb{C}^2# (met het standaardinproduct).

Geef een vector van lengte één in het opspansel van #\vec{x}#.

#\vec{x}=# #{\rv{-{{\complexi}\over{\sqrt{3}}},{{1-\complexi}\over{\sqrt{3}}}}}#

We berekenen eerst de norm #\norm{\vec{x}^{\,*}}#:
\[\begin{array}{rcl}
\norm{\vec{x}^{\,*}} &=&\sqrt{\dotprod{\vec{x}^{\,*}}{\vec{x}^{\,*}}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie norm}}\\
&=&\sqrt{\dotprod{\rv{-\complexi,1-\complexi}}{\rv{-\complexi,1-\complexi}}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{x}^{\,*}\text{ ingevuld}}\\
&=&\sqrt{(-\complexi)\cdot (\overline{-\complexi})+(1-\complexi)\cdot (\overline{1-\complexi})}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie complex inproduct}}\\
&=&\sqrt{(-\complexi)\cdot (\complexi)+(1-\complexi)\cdot (\complexi+1)}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{geconjugeerd}}\\
&=&\sqrt{3}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\] We delen vervolgens de vector door de norm om zo een genormaliseerde vector te krijgen: \[\vec{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,\rv{-\complexi,1-\complexi}=\rv{-{{\complexi}\over{\sqrt{3}}},{{1-\complexi}\over{\sqrt{3}}}}\] We merken op dat #-\vec{x}#, #\ii \cdot \vec{x}# en #-\ii\cdot \vec{x}# ook goede antwoorden zijn.

Nieuw voorbeeld