Het bewijs van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz in het complexe geval is iets ingewikkelder dan in het reële geval.

Als #\vec{a} =\vec{0}#, dan volgt uit de lineariteit van het inproduct in het eerste argument dat \[\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}} = \dotprod{(0\cdot\vec{a})}{\vec{b}}= 0\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})= 0\] voor alle #\vec{b}# dus ook #\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}= 0#, zodat #\norm{\vec{a}}=0#. De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz geldt in dit geval met het gelijkheidsteken. Dit bewijst de regel voor het geval #\vec{a}=\vec{0}#, want #\vec{0}# en #\vec{b}# zijn lineair afhankelijk.

Neem nu aan dat #\vec{a}\neq\vec{0}# en laat #\vec{b}\in V#. Schrijf #\varphi# voor het complexe argument van #\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}# en #\vec{a}^{\,*}# voor #\ee^{-\ii\varphi}\cdot\vec{a}#. Dan is
\[\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}=\ee^{-\ii\varphi}\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})\in\mathbb{R}
\]Voor #\lambda \in \mathbb{R}# definiëren we
\[
f(\lambda )= \dotprod{(\lambda\vec{a}^{\,*} +\vec{b})}{(\lambda \vec{a}^{\,*}+\vec{b})}
\]Uitwerking van #f(\lambda)# laat zien dat deze een kwadratische functie in #\lambda# is:
\[
\begin{array}{rcll}
f(\lambda ) &=&\dotprod{(\lambda \vec{a}^{\,*}+\vec{b})}{(\lambda\vec{a}^{\,*}+\vec{b})}&\color{blue}{\text{definitie }f}\\
&=&\lambda^2(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{a}^{\,*}})+\lambda(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})+\lambda (\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}^{\,*}})+\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}}&\color{blue}{\text{haken uitgewerkt}}\\&=&\lambda^2(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{a}^{\,*}})+\lambda(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})+\lambda (\overline{\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}})+\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}}&\color{blue}{\text{Hermitesheid}}\\&=&\lambda^2(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{a}^{\,*}})+\lambda(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})+\lambda (\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})+\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}}&\color{blue}{\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}\in\mathbb{R}}\\&=&\norm{\vec{a}^{\,*}}^2\lambda^2+2(\dotprod{\vec{a}^{\,*} }{\vec{b}})\lambda+\norm{\vec{b}}^2&\color{blue}{\text{definitie norm}}
\end{array}
\]In het bijzonder is #f(\lambda)# een kwadratische veelterm met reële coëfficiënten (hierboven zagen we namelijk dat \(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}\) reëel is) en geldt #f(\lambda)\geq 0# voor iedere #\lambda \in\mathbb{R}#. Omdat deze reële functie nooit negatief is, moet de discriminant kleiner dan of gelijk aan nul zijn:
\[
4(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})^2-4\norm{\vec{a}^{\,*}}^2\cdot\norm{\vec{b}}^2\leq0\]Na deling door #4# en overbrenging van de tweede term naar rechts vinden we \((\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})^2\leq\norm{\vec{a}^{\,*}}^2\cdot\norm{\vec{b}}^2\). Omdat de waarden aan beide zijden nooit negatief zijn, is dit equivalent met
\[|\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}|\leq\norm{\vec{a}^{\,*}}\cdot\norm{\vec{b}}
\]waarbij #|x|# de absolute waarde van een complex getal #x# is. We concluderen
\[\begin{array}{rclcl}|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|&=& |\dotprod{(\ee^{\ii\varphi}\cdot\vec{a}^{\,*})}{\vec{b}}|&\phantom{xx}&\color{blue}{\vec{a}^{\,*}=\ee^{-\ii\varphi}\cdot\vec{a}}\\&=& |\ee^{\ii\varphi}\cdot(\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}})|&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{lineariteit inproduct in eerste argument}}\\& =&|\ee^{\ii\varphi}|\cdot |\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}|&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{multiplicativiteit van de absolute waarde}}\\ &=& |\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}|&\phantom{xx}&\color{blue}{|\ee^{\ii\varphi}|=1}\\ &\leq &\norm{\vec{a}^{\,*}}\cdot\norm{\vec{b}}&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{zojuist hierboven bewezen}}\\ &=&\norm{\ee^{-\ii\varphi}\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}&\phantom{xx}&\color{blue}{\vec{a}^{\,*}=\ee^{-\ii\varphi}\cdot\vec{a}}\\&=&\norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}&\phantom{xx}&\color{blue}{\text{multiplicativiteit norm en }|\ee^{-\ii\varphi}|=1\text{ als boven} }\end{array}
\]

We eindigen met vast te stellen dat de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz een gelijkheid is dan en slechts dan als #\vec{a}# en #\vec{b}# lineair afhankelijk zijn. De twee vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als ten minste een van de twee de nulvector is of als beide ongelijk aan de nulvector zijn en er een complexe scalar #\mu# is zo dat #\vec{b} = \mu \,\vec{a}#.

Als ten minste een van de twee de nulvector is, dan zijn beide zijden van de Cauchy-Schwarz ongelijkheid gelijk aan nul, en dus is de ongelijkheid is een gelijkheid. Omgekeerd, als beide zijden van de ongelijkheid gelijk aan nul zijn, dan is in het bijzonder de rechter kant gelijk aan nul. Hieruit volgt dat #\norm{\vec{a}}=0# of #\norm{\vec{b}}=0#, zodat #\vec{a} =\vec{0}# of #\vec{b} = \vec{0}#; dus zijn #\vec{a}# en #\vec{b}# lineair afhankelijk. Dit laat zien dat de rechter zijde van de ongelijkheid dan en slechts dan gelijk aan #0# is als ten minste een van de twee vectoren gelijk is aan #\vec{0}#.

Daarom mogen we voor de rest van het bewijs aannemen dat elk van #\vec{a}# en #\vec{b}# ongelijk aan de nulvector is. Als ze lineair afhankelijk zijn, dan is er een complexe scalar #\mu# zo dat #\vec{b} = \mu \vec{a}#, en dus \[ |\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}| =|\overline{\mu}|\cdot\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}=|{\mu}|\cdot \norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{a}}=\norm{\vec{a}}\cdot\left(|{\mu}|\cdot\norm{\vec{a}}\right)= \norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}\]

Er geldt dan dus gelijkheid in de Cauchy-Schwartz ongelijkheid. Omgekeerd, als gelijkheid geldt, dan moet het ongelijkheidsteken in bovenstaande afleiding van de ongelijkheid een gelijkheidsteken zijn: \(|\dotprod{\vec{a}^{\,*}}{\vec{b}}|=\norm{\vec{a}^{\,*}}\cdot\norm{\vec{b}}\). Dit betekent dat de discriminant van de reële kwadratische functie #f(\lambda)# gelijk is aan nul, en dus dat #f(\lambda)# een nulpunt heeft. Laat #\lambda =\mu# een oplossing zijn van #f(\lambda) = 0#. Dan geldt \(\dotprod{(\mu\vec{a}^{\,*} +\vec{b})}{(\mu \vec{a}^{\,*}+\vec{b})}=f(\mu) = 0\), en dus \(\vec{b}=-\mu\vec{a}^{\,*}=-\mu\cdot\ee^{-\ii\varphi}\cdot\vec{a}\). We hebben aangetoond dat #\vec{a}# en #\vec{b}# lineair afhankelijk zijn. Dit beëindigt het bewijs van de uitspraak over gelijkheid in de ongelijkheid van Cauchy-Schwartz.