Invoering van het begrip hoek is iets subtieler dan lengte. Daartoe hebben we de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz nodig:
In elke inproductruimte #V# geldt voor alle #\vec{a},\vec{b}\in V#
\[
|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|\leq\norm{\vec{a}} \cdot \norm{\vec{b}}
\]
Deze ongelijkheid wordt dan en slechts dan een gelijkheid als de vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# lineair afhankelijk zijn.
Laat #\vec{a}# en #\vec{b}# twee vectoren uit #V# zijn. Als een van de twee vectoren de nulvector is, zijn beide uitspraken duidelijk waar, aangezien de linker kant en de rechter kant van de vergelijking dan beide #0# worden.
We zullen nu dus aannemen dat de vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# ongelijk aan de nulvector zijn. Vanwege de definitie van het inproduct geldt \[ \dotprod{(\vec{a}+\lambda \vec{b})}{(\vec{a}+\lambda \vec{b})}\geq 0\] voor iedere scalar #\lambda#. Als we dit inproduct gebruik makend van de lineariteit uitschrijven krijgen we \[\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}+2\lambda(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})+\lambda^2(\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}})\geq 0\] We kunnen de uitdrukking vóór het ongelijkheidsteken zien als een tweedegraadsveelterm #f(\lambda)#. Omdat deze functie maximaal één nulpunt heeft, weten we dat de discriminant van de functie ten hoogste #0# is. Als de functie #f(\lambda)# geen nulpunten heeft, is de discriminant negatief. Aan de hand van de bekende discriminantformule krijgen we \[4(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})^2-4(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})(\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}})\leq 0\]Dit kunnen we herschrijven naar \[4(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})^2\leq 4(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})(\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}})\]We delen dit door #4# en schrijven de rechter kant in termen van normen op. Dit geeft ons \[(\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}})^2\leq \norm{\vec{a}}^2\cdot \norm{\vec{b}}^2 \]Omdat beide kanten positief zijn, kunnen we de wortel nemen en krijgen we de Cauchy-Schwarz ongelijkheid:\[|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|\leq \norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}\]
Het rest ons nu om het geval van gelijkheid te bekijken. De gelijkheid geldt dan en slechts dan als de discriminant gelijk is aan nul. Als de discriminant gelijk is aan #0# hebben we een unieke oplossing voor de vergelijking #f(\lambda)=0#. Oftewel, er is een unieke #\lambda_0# waarvoor geldt \[\dotprod{(\vec{a}+\lambda_0 \vec{b})}{(\vec{a}+\lambda_0\vec{b})}=0\]Vanwege de definitie van het inproduct betekent dit dat #\vec{a}+\lambda_0\vec{b}=\vec{0}#, wat we kunnen omschrijven naar #\vec{a}=-\lambda_0\vec{b}#. Dit drukt lineaire afhankelijkheid van #\vec{a}# en #\vec{b}# uit.
In de inproductruimte #\mathbb{R}^3# met het standaardinproduct geeft de ongelijkheid voor #\vec{a}=\rv{1,1,2}# en #\vec{b} =\rv{x,y,z}#
\[
(x+y+2z)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 2^2)\cdot (x^2+y^2+z^2)=6(x^2+y^2+z^2)
\] Merk op dat we hier beide kanten hebben gekwadrateerd.
In de inproductruimte van alle reële continue functies op #\ivcc{a}{b}# met het functieinproduct #\dotprod{f}{g} = \int_a^bf(x)\cdot g(x)\dd x# vinden we voor ieder tweetal reële continue functies #f# en #g# op #\ivcc{a}{b}#
\[
\left|\int_a^b f(x){g(x)}\,\dd x\right|^2\ \leq \ \int_a^b\left|f(x)\right|^2\,\dd x\int_a^b \left|g(x)\right|^2\,\dd x
\] Deze formules worden nogal eens gebruikt bij afschattingen in de analyse. Voor de functies #\ee^{x^2}# en # \ee^{-x^2}# op het interval #\ivcc{0}{1}# levert de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz
\[1= \left|\int_0^1 \ee^{x^2}\cdot\ee^{-x^2}\, \dd x \right|^2 \leq \int_0^1 \ee^{2x^2}\, \dd x \, \int_0^1\ee^{-2x^2}\, \dd x \] Ook bij deze twee voorbeelden hebben we beide kanten van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz gekwadrateerd.
De volgende eigenschappen van de norm waren al eerder aangekondigd.
Laat #V# een inproductruimte zijn. Voor alle vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# en alle scalairen #\lambda# geldt
- Positiviteit: #\norm{\vec{a}} \geq 0#, met gelijkheid dan en slechts dan als #\vec{a} =\vec{0}#
- Driehoeksongelijkheid: \(\norm{\vec{a} + \vec{b}} \leq \norm{\vec{a}} + \norm{\vec{b}} \)
- Multiplicativiteit: #\norm{\lambda\cdot\vec{a}} = | \lambda | \cdot \norm{\vec{a}} #
De driehoeksongelijkheid weerspiegelt de bekende ongelijkheid uit de pijlenruimte:
De diagonaal is het lijnstuk van #\vec{0}# naar #\vec{a}+\vec{b}#. Dit is het kortste pad van #\vec{0}# naar #\vec{a}+\vec{b}#.
Het eerste onderdeel volgt direct uit de derde eigenschap van de definitie van een inproduct.
Voor de driehoeksongelijkheid hebben we de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz nodig:\[ \begin{array}{rcl} \norm{\vec{a}+\vec{b}}^2&=& \dotprod{(\vec{a}+\vec{b})}{(\vec{a}+\vec{b})}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie norm}}\\& = & \dotprod{\vec{a}}{\vec{a}}+\dotprod{\vec{b}}{\vec{b}}+\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}+\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bilineariteit}}\\&=&\norm{\vec{a}}^2+ \norm{\vec{b}}^2+2\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie norm en symmetrie}}\\&\leq&\norm{\vec{a}}^2+ \norm{\vec{b}}^2+2|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|\\&&\phantom{xx}\color{blue}{{x}\leq \abs{x}}\\& \leq& \norm{\vec{a}}^2+ \norm{\vec{b}}^2+2 \norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Cauchy-Schwarz}}\\&=&(\norm{\vec{a}}+ \norm{\vec{b}})^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{ontbonden in factoren}}\\ \end{array}\]waaruit de driehoeksongelijkheid volgt door links en rechts de wortel te trekken.
Het derde onderdeel volgt uit de lineariteit en symmetrie van het inproduct:\[(\lambda \vec{a},\lambda \vec{a}) = \lambda (\vec{a},\lambda\vec{a})= \lambda
\cdot\lambda(\vec{a},\vec{a})= \lambda^2\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})=\abs{\lambda}^2\cdot(\dotprod{\vec{a}}{\vec{a}})\]Als we nu van het meest rechter lid en het meest linker lid de wortel nemen, krijgen we de gelijkheid \[\norm{\lambda\cdot \vec{a}} = |\lambda |\cdot \norm{\vec{a}}
\]
De driehoeksongelijkheid geeft ons een bovengrens voor de lengte van een som van twee vectoren. We kunnen echter uit de driehoeksongelijkheid ook een ondergrens vinden. De ongelijkheid geldt voor alle #\vec{a}# en #\vec{b}#, dus hij geldt ook voor vectoren #\vec{a}-\vec{b}# en #\vec{b}#. We vinden dan\[\norm{\vec{a}} \,=\, \norm{(\vec{a} -\vec{b})+\vec{b}}\leq\norm{\vec{a} -\vec{b}} + \norm{\vec{b}}
\]en dus \[ \norm{\vec{a} -\vec{b}}\ \geq\ \norm{\vec{a}} - \norm{\vec{b}}
\]Deze uitspraak geldt voor alle vectoren, dus in het bijzonder voor de vectoren #\vec{a}# en #-\vec{b}#, wat ons geeft:\[\norm{\vec{a} + \vec{b}} \,\geq \, \norm{\vec{a}} -\norm{-\vec{b}} \,=\, \norm{\vec{a}} -\norm{\vec{b}}\]Verwisseling van #\vec{a} # en #\vec{b}# levert nu op \[\norm{\vec{b} +\vec{a}} \geq \norm{\vec{b}} - \norm{\vec{a}}\]zodat we voor alle vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# vinden\[
\norm{\vec{a} +\vec{b}}\ \geq \abs{\norm{\vec{a}} - \norm{\vec{b}}}
\] Samengevat geldt dus \[\abs{\norm{\vec{a}} - \norm{\vec{b}}}\, \leq\, \norm{\vec{a}+\vec{b}}\, \leq \,\norm{\vec{a}}+\norm{\vec{b}}\]
Een vectorruimte met een lengtebegrip dat aan de eisen uit de stelling voldoet, wordt ook wel een genormeerde vectorruimte genoemd.
De driehoeksongelijkheid voor afstand, #d(\vec{a},\vec{c})\le d(\vec{a},\vec{b}) + d(\vec{b},\vec{c}) #, is een direct gevolg van de driehoeksongelijkheid voor lengte:
\[\begin{array}{rcl}d(\vec{a},\vec{c})&=&\norm{\vec{a}-\vec{c}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie afstand}}\\ &=&\norm{(\vec{a}-\vec{b})+(\vec{b}-\vec{c})}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{som herschreven met }\vec{b}}\\ &\le &\norm{\vec{a}-\vec{b}}+\norm{\vec{b}-\vec{c}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de driehoeksongelijkheid voor lengte}}\\ &=&d(\vec{a},\vec{b}) + d(\vec{b},\vec{c}) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie afstand}}\end{array}\]
Dankzij de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz kunnen we het inproduct in een reële vectorruimte ook gebruiken om de hoek tussen twee vectoren te definiëren:
Laat #V# een inproductruimte zijn en #\vec{a}# en #\vec{b}# twee vectoren ongelijk aan de nulvector. Dan bestaat er een reëel getal #\varphi\in\ivcc{0}{\pi}# zodanig dat \[\cos(\varphi) = \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}}{\norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}} \] Het getal #\varphi# heet de hoek tussen de twee vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}#. De hoek hangt niet af van de lengte van #\vec{a}# of de lengte van #\vec{b}#.
We brengen de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz in herinnering:\[|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|\ \leq\ \norm{\vec{a}} \cdot \norm{\vec{b}}\]We delen beide kanten door #\norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}# en krijgen\[ \frac{|\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}|}{\norm{\vec{a}} \cdot \norm{\vec{b}}}\leq 1\] Toepassing van de definitie van absolute waarde geeft de volgende ongelijkheden:\[-1\ \leq \ \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}}{\norm{\vec{a}} \cdot \norm{\vec{b}}} \leq \ 1\]Er bestaat dus een hoek #\varphi# zo dat
\[\cos(\varphi) = \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}}{\norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}}\]
De hoek hangt niet van de lengte af: \[\cos(\varphi) = \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}}{\norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}}\ = \dotprod{\left( \frac{1}{\norm{\vec{a}}} \vec{a}\right)}{\left( \frac{1}{\norm{\vec{b}}} \vec{b}\right)} \]
We kunnen met de volgende afbeelding zien hoe de hoek en het inproduct zich tot elkaar verhouden. Als we de vergelijking herschrijven krijgen we
\[
\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}=\norm{\vec{a}} \cdot \norm{\vec{b}} \cdot \cos (\varphi)
\]
We houden nu de lengtes van #\vec{a}# en #\vec{b}# gelijk (dit maakt niet uit voor het inproduct). Je kan de niet-horizontale vector verslepen om te zien wat er gebeurt met de hoek. Uit de vergelijking kunnen we zien dat de absolute waarde van het inproduct maximaal is indien de hoek #0# of #180# graden is.
Welke hoek maken de vectoren #\vec{a} = \rv{0,1,1}# en #\vec{b}=\rv{-4,0,-4}# in de inproductruimte #\mathbb{R}^3# met het standaardinproduct?
Geef je antwoord in radialen.
#\varphi = # # {{2\cdot \pi}\over{3}}#
Eerst berekenen we het inproduct van de vectoren #\vec{a}# en #\vec{b}# en hun lengtes
\[\begin{array}{rclcl}
\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}} &=& (0)\cdot (-4) + (1)\cdot (0) + (1)\cdot (-4) &=&-4 \\
\norm{\vec{a}} &=& \sqrt{(0)^2+ (1)^2 + (1)^2} &=&\sqrt{2} \\
\norm{\vec{b}} &=& \sqrt{(-4)^2+ (0)^2 + (-4)^2} &=&4\sqrt{2} \end{array}
\]Hieruit volgt dat de hoek #\varphi# tussen #\vec{a}# en #\vec{b}# voldoet aan
\[\cos(\varphi) = \frac{\dotprod{\vec{a}}{\vec{b}}}{\norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}}=\frac{-4}{\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = -{{1}\over{2}}\]We concluderen dat #\varphi = {{2\cdot \pi}\over{3}}#.
Hoek
