Dimensie 1 Een #(1\times1)#-matrix #A=\matrix{a}# voldoet dan en slechts dan aan de voorwaarden als #a\ne0#.

Dimensie 2

Bekijk de matrix \[A=\matrix{a&b\\ c & d}\] De kolommen van #A# zijn dan en slechts dan lineair afhankelijk als er een niet-triviale lineaire combinatie is die de nulvector oplevert, dus dan en slechts dan als er scalairen #\lambda# en #\mu# zijn, niet beide gelijk aan #0#, zodat \[\lambda\rv{a,c}+\mu\rv{b,d} = \rv{0,0}\] wat overeenkomt met het stelsel \[\lineqs{\lambda\cdot a+\mu\cdot b=0\\\lambda\cdot c+\mu\cdot d=0}\] Deze voorwaarde kan herschreven worden als \[\matrix{a&b\\ c&d}\matrix{\lambda\\ \mu} = \matrix{0\\ 0}\]

en zegt dus dat de vector #\rv{\lambda,\mu}# in de kern van #A# ligt. Als dit het geval is, dan geeft vermenigvuldiging van links met de matrix #B = \matrix{d&-b\\ -c &a}#:

\[(a\cdot d -b\cdot c)\cdot \matrix{\lambda\\ \mu} = B\,A\,\matrix{\lambda\\ \mu} = \matrix {0\\ 0}\]

Omdat ten minste één van #\lambda# en #\mu# ongelijk aan nul is, vinden we dat #a\cdot d -b\cdot c\ne0# geldt.

Andersom, als #a\cdot d -b\cdot c\ne0#, dan geldt\[I_2 = \frac{1}{a\cdot d -b\cdot c}B \,A\] zodat #A# inverteerbaar is en de kern van #A# gelijk aan #\{\vec{0}\}# is, waaruit volgt dat de kolommen lineair onafhankelijk zijn. We concluderen dat de kolommen van #A# dan en slechts dan lineair afhankelijk zijn als #a\cdot d-b\cdot c=0#.

Omdat de linker leden, zeg #l_1# en #l_2#, beide gelijk aan nul zijn, mogen we ze vervangen door lineaire combinaties van #l_1# en #l_2#. In het bijzonder zien we door de combinaties #d\cdot l_1-b\cdot l_2# respectievelijk #a\cdot l_2-c\cdot l_1# te nemen: \[\lineqs{\lambda\cdot \left(a\cdot d-b\cdot c\right)=0\\\mu\cdot\left(a\cdot d-b\cdot c\right)=0}\] Omdat #\lambda# en #\mu# niet beide gelijk aan nul mogen zijn, concluderen we dat de kolommen van #A# dan en slechts dan lineair afhankelijk zijn als #a\cdot d-b\cdot c=0#. Deze afhankelijkheidsvoorwaarde op de kolommen van #A# is invariant onder de verwisseling van #b# en #c#, en geldt daarom ook voor de rijen van #A#, oftewel, voor de kolommen van #A^\top#. Dit verklaart dat de rang van #A# dan en slechts dan gelijk is aan #2# als de rang van #A^\top# gelijk is aan #2#. Dit laat nogmaals zien dat zowel uitspraak 2 als uitspraak 3 equivalent is met uitspraak 1.

Uitspraak 5 kunnen we zelfs illustreren aan de hand van de volgende eenvoudig na te rekenen formule:

\[\text{Voor }B = \matrix{d&-b\\ -c&a}\text{ geldt } A\,B = (a\cdot d -b\cdot c)\cdot I_2\]

Dus als #a\cdot d -b\cdot c\ne0#, dan is \[A^{-1} =\frac{1}{a\cdot d -b\cdot c}\cdot B\] de inverse van #A#. Stel nu #a\cdot d -b\cdot c=0#, zodat #A\,B# de nulmatrix is. Als #A# de nulmatrix is, dan is #A# niet inverteerbaar. Als #A# ongelijk is aan de nulmatrix, dan is een kolom van #B# een vector ongelijk #\vec{0}# die tot de kern van #A# behoort, zodat #A# niet inverteerbaar is. We concluderen dat #A# dan en slechts dan inverteerbaar is als #a\cdot d -b\cdot c\ne0#.

De uitdrukking #a\cdot d -b\cdot c# staat bekend als de determinant van #A#, die we later uitgebreider behandelen.

Aanvulling

De gegeven lijst kan als volgt worden aangevuld:

6. #A# is injectief
7. #A# is surjectief
8. #\ker{A}=\{\vec{0}\}#
9. #\im{A}=\mathbb{R}^n#
10. #\det(A)\neq0#

Volgens de stelling Inverteerbaarheid bij gelijke dimensies domein en codomein zijn uitspraken 6 en 7 gelijkwaardig aan uitspraak 5.

Volgens de Criteria voor injectiviteit en surjectiviteit zijn uitspraken 6 en 7 gelijkwaardig aan uitspraken 8 respectievelijk 9. Overigens zijn uitspraken 8 en 9 gelijkwaardig aan \[\dim{\ker{A}}=0\qquad\text{respectievelijk}\qquad\dim{\im{A}}=n\] in overeenstemming met de dimensiestelling. Volgens Rang is dimensie kolommenruimte is de laatste vergelijking gelijkwaardig aan #\text{rang}(A)=n#, wat direct de gelijkwaardigheid van uitspraken 1 en 9 bevestigt.

De gelijkwaardigheid van uitspraak 10 aan uitspraak 5 bewijzen we later in Inverteerbaarheid in termen van determinant. In die stelling bewijzen we tevens \[\det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det(A)}\] mits #A^{-1}# bestaat. Tezamen met uitspraak 10 volgt daaruit dat elke uitspraak voor #A# in de lijst gelijkwaardig is aan de overeenkomstige uitspraak voor #A^{-1}#, mits deze inverse bestaat.

Later in Determinant van getransponeerde en van product bewijzen we #\det(A)=\det(A^\top)#. Tezamen met uitspraak 10 volgt daaruit dat elke uitspraak voor #A# in de lijst gelijkwaardig is aan de overeenkomstige uitspraak voor #A^\top#.

Volgens het afhankelijkheidscriterium zijn uitspraken 2 en 3 gelijkwaardig aan de uitspraken dat er geen niet-triviale relatie bestaat tussen de rijen respectievelijk kolommen van #A#.

Dimensie 2

We bespreken de gelijkwaardigheid van enkele uitspraken voor het geval #n=2#. We noteren de elementen van de #(2\times2)#-matrix als volgt: \[A=\matrix{a&b\\ c & d}\]

#3\Leftrightarrow 8# Eerst laten we zien dat de kolommen van #A# onafhankelijk zijn (dat wil zeggen, geen niet-triviale relatie met elkaar hebben) dan en slechts dan als de kern van #A# enkel de nulvector bevat.

De kern van #A# bestaat uit alle vectoren #\rv{\lambda,\mu}# die voldoen aan \[\matrix{a&b\\ c&d}\matrix{\lambda\\ \mu}=\matrix{0\\ 0}\] Het linker lid kunnen we herschrijven als een lineaire combinatie van de kolommen van #A#: \[\lambda\cv{a\\c}+\mu\cv{b\\d}=\cv{0\\0}\] Als de kern van #A# slechts de nulvector bevat, dan heeft deze vergelijking #\rv{\lambda,\mu}=\rv{0,0}# als enige oplossing. Dat betekent dat de kolommen van #A# onafhankelijk zijn. Omgekeerd: als de kolommen van #A# onafhankelijk zijn, dan heeft de laatste vergelijking #\rv{\lambda,\mu}=\rv{0,0}# als enige oplossing. Uit de herschrijving naar de voorgaande vergelijking volgt dan dat de kern van #A# enkel de nulvector bevat.

#8\Leftrightarrow 10# We laten nu zien dat de kern van #A# enkel de nulvector bevat dan en slechts dan als de determinant #a\cdot d-b\cdot c# van #A# ongelijk is aan nul. Dit doen we door aan te tonen dat de kern van #A# vectoren bevat ongelijk aan de nulvector dan en slechts dan als de determinant van #A# gelijk is aan nul.

We introduceren de matrix \[M=\matrix{d&-b\\ -c&a}\] die voldoet aan \[ A\,M=M\,A=\left(a\cdot d-b\cdot c\right)I_2\] Zoals we hierboven al zagen, voldoet een vector #\vec{\lambda}# in de kern van #A# aan \[A\vec{\lambda}=\vec{0}\] Vermenigvuldigen we beide zijden van deze vergelijking van links met #M# dan vinden we: \[(a\cdot d-b\cdot c)\cdot\vec{\lambda}=\vec{0}\] Als de kern van #A# een vector bevat die ongelijk is aan de nulvector, dan moet de determinant van #A# dus wel nul zijn. Omgekeerd: als de determinant van #A# gelijk is aan nul, dan is #A\, M# de nulmatrix, wat aantoont dat de kolommen van #M# tot de kern van #A# behoren. Als #A# de nulmatrix is, dan zit elke vector uit #\mathbb{R}^2# in de kern van #A#. Als #A# niet de nulmatrix is, dan is minstens één van de kolommen van #M# ongelijk aan de nulvector. In beide gevallen bevat de kern van #A# vectoren ongelijk aan de nulvector.

#5\Leftrightarrow 10# Eerder zagen we dat #A# inverteerbaar is dan en slechts dan als de determinant van #A# ongelijk is aan nul, en dat de inverse in dat geval gelijk is aan \[A^{-1}=\frac{1}{a\cdot d-b\cdot c}M\] waarin de matrix #M# hierboven is gedefinieerd. Later zullen we zien dat de matrix #M# de geadjugeerde van #A# is. De determinant #a\cdot d-b\cdot c# verandert niet wanneer we #b# en #c# met elkaar verwisselen. Dat laat zien dat de determinanten van #A# en #A^\top# gelijk aan elkaar zijn, zoals in het algemeen geldt. Eveneens in overeenstemming met de algemene regel vinden we: \[\det\left(A^{-1}\right)=\frac{\det(M)}{\left(a\cdot d-b\cdot c\right)^2}=\frac{1}{a\cdot d-b\cdot c}=\frac{1}{\det(A)}\]