Een lineaire vergelijking met één onbekende oplossen

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Lineaire vergelijkingen

Een lineaire vergelijking met één onbekende oplossen

Elke lineaire vergelijking is tot een basisvorm te herleiden. Uitgaande van zo'n basisvorm is het oplossen van de vergelijking niet meer zo moeilijk. Hier herhalen we hoe dit ook al weer gaat met één lineaire vergelijking met één onbekende.

Oplossen van de lineaire vergelijking met één onbekende In het algemeen zijn de oplossingen van de lineaire vergelijking \(a\cdot x+b=0\) met onbekende \(x\) en reële getallen \(a\) en \(b\) als volgt te vinden.

\(\,\)geval	\(\,\)oplossingen
\(\,a\ne0\phantom{x}\)	\(\,\)precies één: \(x=−\dfrac{b}{a}\,\)
\(\,a=0\) en \(b\ne0\,\)	\(\,\)geen
\(\,a=0\) en \(b=0\,\)	\(\,\)ieder getal \(x\,\)

De lineaire vergelijking #3x+8=0# heeft oplossing #x=-\frac{8}{3}#.
De vergelijking #0\cdot x + 8 = 0# bevat de onbekende niet essentieel: ze is equivalent met #8=0#, een vergelijking waaraan niet voldaan is. Er is dus geen oplossing.
De vergelijking #0\cdot x + 0 = 0# bevat de onbekende ook niet essentieel, maar ze is equivalent met #0=0#, een vergelijking waaraan altijd voldaan is. Elke waarde van #x# is dus een oplossing.

We geven aan waarom. (De vergelijking is \(ax+b=0\).)

\(\,\)geval	\(\,\)oplossingen	\(\,\)verklaring
\(\,a\ne0\,\)	\(\,\)precies één: \(x=−\dfrac{b}{a}\,\)	\(\,\)Trek links en rechts \(b\) af en deel \(\,\)vervolgens beide zijden door \(a\).
\(\,a=0\) en \(b\ne0\,\)	\(\,\)geen	\(\,\)De vergelijking wordt \(b=0\) en dat is \(\,\)niet waar, ongeacht de keuze van \(x\).
\(\,a=0\) en \(b=0\,\)	\(\,\)ieder getal \(x\,\)	\(\,\)De vergelijking wordt \(b=0\) en dat is waar \(\,\)voor elke keuze van \(x\).

In bovenstaande regel voor de oplossing van de lineaire vergelijking \(a\cdot x+b=0\) met onbekende \(x\) stelden \(a\) en \(b\) reële getallen voor, waarvoor concrete waarden ingevuld kunnen worden. Maar in feite hebben we de vergelijking én de oplossing opgeschreven met \(a\) en \(b\) in algemene vorm. Met andere woorden, \(a\) en \(b\) zijn parameters.

Overigens gelden alle uitspraken ook voor complexe getallen in plaats van reële.

Deze regels hoef je niet te onthouden, omdat de oplossingen eenvoudig te vinden zijn door herleidingen (waarbij het niet strikt noodzakelijk is om eerst de gegeven vergelijking te herleiden tot een basisvorm). De drie gevallen zijn ook meetkundig te herkennen in termen van lijnen, zoals we later zullen zien. Van elk geval geven we een voorbeeld.

Los de vergelijking \(\;4 x+42=7 x+24\;\) op.

\(x=6\)

Om dit in te zien, herleiden we de vergelijking als volgt.

\[\begin{array}{rclcl}4 x+42&=&7 x+24&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\ -3 x+42&=&24&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }7 x\text{ naar links gebracht}}\\ -3 x &=&-18&\phantom{x}&\color{blue}{\text{de term }42\text{ naar rechts gebracht}} \\ x &=&6&\phantom{x}&\color{blue}{\text{door }-3\text{ gedeeld}}\tiny.\end{array}\]

De enige oplossing van de vergelijking is dus \(x=6\).

Nieuw voorbeeld