Toepassingen van Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Afsluiting van Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices

Toepassingen van Stelsels lineaire vergelijkingen

We laten een aantal toepassingsgebieden van stelsel lineaire vergelijkingen de revue passeren.

Stoichiometrie van een chemische reactie Van een chemische reactie zijn de uitgangs- en eindproducten bekend, maar om de hoeveelheden van de betrokken chemische stoffen te bepalen moet een chemische vergelijking kloppend gemaakt worden (de zogeheten stoichiometrische vergelijking).

Bij verbranding van methaan \((\mathrm{CH}_4)\) ontstaat water \((\mathrm{H}_2\mathrm{O})\) en kooldioxide \((\mathrm{CO}_2)\). In dit geval is het niet moeilijk om in te zien dat \[\mathrm{CH}_4+2\mathrm{O}_2\longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}+\mathrm{CO}_2\] een kloppende reactie is, dat wil zeggen dat op beide zijden voor iedere atoomsoort hetzelfde aantal staat.

Maar bij het minder eenvoudige voorbeeld van verbranding van propaangas \((\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8)\) helpt het al om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te stellen en je de vraag te stellen voor welke waarden van \(p\), \(q\), \(r\) en \(s\) de chemische vergelijking \[p\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8+q\mathrm{O}_2\longrightarrow r\mathrm{H}_2\mathrm{O}+s\mathrm{CO}_2\] kloppend wordt. In dit voorbeeld levert dit de vergelijkingen \(3p=s\), \(8p=2r\) en \(2q=r+2s\) op. Het bijbehorende homogene stelsel lineaire vergelijkingen is \[ \left\{\begin{array}{rrrrrrrrl} 3p & & & & &-& s & = & 0 \\ 8p & & & - & 2r & & & = & 0 \\ & & 2q & - & r & -& 2s & = & 0\end{array}\right. \] en de coëfficiëntenmatrix is \[ \left(\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & 0 & -1\\ 8 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -2\\ \end{array}\right) \] De gereduceerde trapvorm van deze matrix is gelijk aan \[\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{3}\\ \end{array}\right) \] Hieruit volgt dat voor een willekeurig gekozen waarde van \(s\) de andere waarden vastliggen door \[p=\frac{s}{3},\quad q=\frac{5s}{3},\quad r=\frac{4s}{3}\]In de chemische context moeten de stoichiometrische coëfficiënten niet-negatieve gehele getallen zijn; de kleinst mogelijke waarden krijgen we voor \(s=3\), namelijk \(p=1\), \(q=5\) en \(r=4\). Dit leidt tot de volgende stoichiometrische vergelijking: \[\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8+5\mathrm{O}_2\longrightarrow 4\mathrm{H}_2\mathrm{O}+3\mathrm{CO}_2\]

Warmteplaat met een inwendig rooster Bekijk een warmteplaat met een inwendig rooster zoals in onderstaande figuur getekend. De randtemperaturen van de plaat zijn constant en bekend.

warmteplaat met inwendig rooster

We veronderstellen dat de temperatuur op een interne knoop van het rooster het gemiddelde van de vier omringende knopen (links, boven, rechts, onder) is. Zo geldt bijvoorbeeld voor knoop #1# dat \(T_1=\tfrac{1}{4}(72+54+T_2+T_4)\), oftewel \(4T_1=126+T_2+T_4\). Om de temperaturen van de interne knopen te berekenen stellen we vier vergelijkingen met vier onbekenden op door het verband voor elke interne knoop op te schrijven: \[ \left\{\begin{array}{rrrrrrrrl} 4T_1 & - & T_2 & & &-& T_4 & = & 126 \\ -T_1 & + & 4T_2 & - & T_3 & & & = & 118 \\ & - & T_2 & + & 4T_3 & -& T_4 & = & 160 \\ -T_1 & & & - & T_3 & + & 4T_4 & = & 168 \end{array}\right. \] De aangevulde matrix van dit stelsel vergelijkingen is \[\left(\begin{array}{rrrrr} 4 & -1 & 0 & -1 & 126 \\ -1 & 4 & -1 & 0 & 118 \\ 0 & -1 & 4 & -1 & 160 \\ -1 & 0 & -1 & 4 & 168 \end{array}\right) \] De gereduceerde trapvorm van deze matrix is gelijk aan \[\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{269}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{261}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{303}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{311}{4}\end{array}\right) \] Dit betekent dat de temperaturen in graden Celcius van de interne knopen gelijk zijn aan \[T_1=\frac{269}{4},\quad T_2=\frac{261}{4},\quad T_3=\frac{303}{4},\quad T_4=\frac{311}{4}\]

Elektrisch netwerk In onderstaande figuur is een elektrisch netwerk van weerstanden en een batterij getekend. In deze figuur zijn ook de stroomsterktes \(I_1,\ldots, I_7\) in de verschillende componenten van het netwerk aangegeven.

Elektrisch circuit Met de volgende wetten kun je deze stroomsterktes uitrekenen als functie van de weerstanden \(R_1,\ldots, R_5\) en de batterijspanning \(V\).

Wet van Ohm Het spanningsverschil #V# over een weerstand #R# is evenredig met de stroomsterkte #I#: \[V=I\cdot R\]

Spanningswet van Kirchhoff De som van de spanningsverschillen in elke gesloten lus in een elektrisch netwerk is gelijk aan nul.

Stroomwet van Kirchhoff In elk knooppunt van een elektrisch netwerk is de som van de stromen die in dat punt samenkomen gelijk aan de som van de stromen die vanuit dat punt vertrekken.

Het knooppunt kan geen stroom opslaan of afgeven.

Toepassing van de eerste twee wetten geeft de volgende vergelijkingen \[ \left\{\begin{array}{rrrrrrl} R_1\cdot I_1 & + & R_4\cdot I_4 & - & R_2\cdot I_2 & = & 0 \\ R_4\cdot I_4 & + & R_5\cdot I_5 & - & R_3\cdot I_3 & = & 0 \\ R_2\cdot I_2 & + & R_5\cdot I_5 & - & V & = & 0\end{array}\right. \] Andere lussen kunnen genegeerd worden omdat ze alleen vergelijkingen opleveren die lineaire combinaties van de al gegeven vergelijkingen zijn. Toepassing van de laatste wet geeft de volgende vergelijkingen \[ \left\{\begin{array}{rrrrr} I_1 & + & I_2 & = & I_7 \\ I_3 & + & I_4 & = & I_1 \\ I_2 & + & I_4 & = & I_5 \\ I_3 & + & I_5 & = & I_6\end{array}\right. \] We zouden hieraan ook de vergelijking \(I_6=I_7\) kunnen toevoegen, maar deze volgt al uit de eerdere vergelijkingen: \[I_6=I_3+I_5=I_3+I_4+I_2= I_1+I_2=I_7\] Kortom, we hebben 7 lineaire vergelijkingen met 7 onbekende stroomsterktes \(I_1,\ldots, I_7\). De aangevulde matrix van het stelsel vergelijkingen is \[\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} R_1 & -R_2 & 0 & R_4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -R_3 & R_4 & R_5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_2 & 0 & 0 & R_5 & 0 & 0 & V \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) \] De gereduceerde trapvorm kan berekend worden en heeft een laatste kolom die bestaat uit rationale uitdrukkingen in de weerstanden \(R_1,\ldots, R_7\) en de batterijspanning \(V\): \[\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (R_2R_3+R_2R_4+R_2R_5+R_4R_5)\cdot V/N \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (R_1R_3+R_1R_4+R_1R_5+R_3R_4)\cdot V/N \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & (R_1R_5+R_2R_4+R_2R_5+R_4R_5)\cdot V/N \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & (R_2R_3-R_1R5)\cdot V/N \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & (R_1R_3+R_1R_4+R_2R_3+R_3R_4)\cdot V/N \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & T \cdot V/N \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & T \cdot V/N \end{array}\right) \] met factor \(T\) en noemer \(N\) gegeven door \[\begin{array}{rrl} T & = & R_1R_3+R_1R_4+R_1R_5+R_2R_3+{}\\ & & R_2R_4+R_2R_5+R_3R_4+R_4R_5 \\ N & = & R_1R_2R_3+R_1R_2R_4+R_1R_2R_5+R_1R_3R_5+{}\\ & & R_1R_4R_5+R_2R_3R_4+R_2R_3R_5+R_3R_4R_5\end{array}\] Voor de stroomsterkte #I_4# in de 'brug' van het netwerk geldt \[I_4=\frac{(R_2R_3-R_1R_5)V}{N}\] Deze stroomsterkte hangt niet af van de weerstand \(R_4\) en is (voor #V\ne0#) dan en slechts dan gelijk aan nul als \(\displaystyle \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_5}\), dat wil zeggen: als de verhoudingen \(R_1:R_2\) en \(R_3:R_5\) aan elkaar gelijk zijn.

Woordproblemen en wiskundige puzzels Puzzeltjes laten zich vaak vertalen in stelsels lineaire vergelijkingen.

Puzzelvraagstuk over leeftijden Over Karel, Leo en Michel is het volgende bekend:

Op dit moment is Karel twee jaar jonger dan Leo en Michel samen.
Over drie jaar zal Karel twee keer zo oud als Leo zijn.
Twee jaar geleden was Leo half zo oud als Michel.

Hoe oud zijn Karel, Leo en Michel?

Stel dat \(K\), \(L\) en \(M\) de onbekende leeftijden van Karel, Leo en Michel voorstellen. Dan kunnen we de drie gegevens vertalen tot de volgende drie lineaire vergelijkingen \[ \lineqs{K &=& L+M - 2 \cr K + 3 &=& 2\,(L+3) \cr L - 2 &=& \frac{1}{2}(M-2)}\] Equivalent hiermee is het stelsel \[ \left\{\begin{array}{rrrrrrrl} K & - & L & - & M & = & -2 \\ K & - & 2L & & & = & 3 \\ & & 2L & - & M & = & 2 \end{array}\right. \] De gereduceerde trapvorm van de bijpassende aangevulde matrix is \[\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 17 \\ 0 & 1 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 12 \end{array}\right) \] Dus de leeftijden van Karel, Leo en Michel zijn respectievelijk #17#, #7# en #12# jaar.

Puzzelvraagstuk over getallen We veronderstellen dat een natuurlijk getal uit twee cijfers bestaat (in het tientallig stelsel) en dat het de volgende eigenschappen heeft:

de som van de cijfers is gelijk aan #11#;
wanneer je de cijfers in het getal omwisselt krijg je een groter getal dat #45# verschilt van het oorspronkelijke getal.

Over welk getal hebben we het?

Stel dat het gezochte getal gelijk is aan \(10t+e\), waarbij de variabele \(t\) staat voor tientallen (het eerste cijfer) en \(e\) voor eenheden (het tweede cijfer). Dan kunnen we de twee gegevens vertalen tot de volgende twee lineaire vergelijkingen \[ \lineqs{t+e &=& 11 \cr 10e + t &=& 10t+e+45}\] Equivalent hiermee is het stelsel \[ \left\{\begin{array}{rrrrl} t & + & e & = & 11 \\ -9t & + & 9e & = & 45 \end{array}\right. \] De gereduceerde trapvorm van de bijpassende aangevulde matrix is \[\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 8 \end{array}\right) \] Dus \(t=3\) en \(e=8\). Dit betekent dat het gezochte getal gelijk is aan \(38\).

Grafieken van functies door voorgeschreven punten Stel we hebben drie punten \(\rv{-4,3}\), \(\rv{3,3}\) en \(\rv{5,6}\) in het platte vlak, en willen de vergelijking bepalen van de parabool door deze drie punten. Dan kunnen we dit probleem via een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen.

Schrijf eerst de algemene vergelijking voor de parabool op in de vorm \(y=ax^2+bx+c\). Als we deze vergelijking opvatten als functievoorschrift, dan volgt uit \(y(-4)=3\), \(y(3)=3\) en \(y(5)=6\) het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden \(a\), \(b\) en \(c\): \[ \left\{\begin{array}{rrrrrrrl} 16a & - & 4b & + & c & = & 3 \\ 9a & + & 3b & + & c & = & 3 \\ 25a & + & 5b & + & c & = & 6 \end{array}\right. \] De aangevulde matrix van dit stelsel vergelijkingen is \[\left(\begin{array}{rrrr} 16 & -4 & 1 & 3 \\ 9 & 3 & 1 & 3 \\ 25 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) \] De gereduceerde trapvorm van deze matrix is gelijk aan \[\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \] Dit betekent dat \(a=\frac{1}{6}\), \(b=\frac{1}{6}\) en \(c=1\), oftewel dat de vergelijking van de gezochte parabool gelijk is aan \[y=\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}x+1\]

Magische driehoeken en vierkanten Magische getallendriehoeken, vierhoeken, kubussen, etc., hebben mensen altijd al gefascineerd. We kijken naar magische driehoeken en magische vierkanten.

Magische driehoeken De getallendriehoek \[\begin{array}{ccccc} & & a & & \\ & b & & f & \\ c & & d & & e\end{array}\] waarbij \(a, b,\ldots,f\) gehele getallen zijn, heet magisch als de som van alle getallen op iedere zijde hetzelfde is. Bijvoorbeeld, de getallendriehoek \[\begin{array}{ccccc} & & -1 & & \\ & 6 & & 4 & \\ 1 & & 2 & & 3\end{array}\] is magisch omdat de som van alle getallen op iedere zijde gelijk is aan zes. De vraag om alle magische driehoeken op te sporen komt neer op het oplossen van de volgende twee vergelijkingen in zes onbekenden: \[ \left\{\begin{array}{c}a+b+c = c+d+e \\ a+b+c = a+f+e \end{array}\right. \]wat direct vereenvoudigd kan worden tot \[ \left\{\begin{array}{c}a+b=d+e \\ b+c = f+e \end{array}\right. \] Uit \(a+b=d+e\) en \(b+c=f+e\) volgt dan \(b=f+e-c\) en \(a=d+e-b=d+c-f\). Met andere woorden, alle magische driehoeken zijn van de vorm \[\begin{array}{ccccc} & & d+c-f & & \\ & f+e-c & & \phantom{d+}f\phantom{-c} & \\ c & & d & & e\end{array}\] waarbij \(c, d, e, f\) vrij te kiezen zijn. Voor elke zijde is de som van de getallen dan gelijk aan #c+d+e#.

De magie is nog groter in de magische driehoek \[\begin{array}{ccccc} & & 4 & & \\ & 3 & & 2 & \\ 5 & & 1 & & 6\end{array}\] omdat dan elk van de getallen \(1,\ldots,6\) precies één keer gebruikt is.

Magische vierkanten Nu kijken we naar magische vierkanten van afmeting \(3\times 3\), dat wil zeggen vierkanten van gehele getallen waarvoor de som van de drie getallen op iedere zijde en op iedere diagonaal hetzelfde is. De algemene vorm van een magisch vierkant met afmeting \(3\times 3\) is \[\begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{array}\] waarbij de definiërende eigenschap leidt tot het volgende stelsel van zeven lineaire vergelijkingen in negen onbekenden \[ \left\{\begin{array}{c} x_1+x_2+x_3 = x_4+x_5+x_6 \\ x_4+x_5+x_6 = x_7+x_8+x_9 \\ x_1+x_2+x_3 = x_1+x_4+x_7 \\ x_1+x_4+x_7 = x_2+x_5+x_8 \\ x_2+x_5+x_8 = x_3+x_6+x_9 \\ x_1+x_2+x_3 = x_1+x_5+x_9 \\ x_1+x_5+x_9 = x_3+x_5+x_7 \end{array}\right. \] Gauss-eliminatie leidt tot de volgende gereduceerde trapvorm van de coëfficiëntenmatrix bij het stelsel vergelijkingen \[\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}& -\frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{3} & -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\] De algemene vorm van een magisch vierkant is dus \[\begin{array}{ccc} \frac{2p+2q-r}{3} & \frac{2p-q+2r}{3} & \frac{-p+2q+2r}{3} \\ \frac{-2p+q+4r}{3} & \frac{p+q+r}{3} & \frac{4p+q-2r}{3} \\ p & q & r \end{array}\] waarbij \(p\), \(q\) en \(r\) vrij te kiezen getallen zijn onder de voorwaarde dat in het vierkant na vereenvoudiging geen breuken staan. Deze voorwaarde wordt automatisch vervuld door de keuze #p=a+b#, #q=a-b-c# en #r=a+c# waarin \(a\), \(b\) en \(c\) vrij te kiezen gehele getallen zijn. Bovenstaande algemene vorm van een magisch vierkant wordt dan expliciet breukenvrij:\[\begin{array}{ccc} a-c & a+b+c & a-b \\ a-b+c & a & a+b-c \\ a+b & a-b-c & a+c \end{array}\]De som van de drie getallen op iedere zijde en op iedere diagonaal is altijd gelijk aan #3a#.

Het beroemdste magische vierkant, waarin de getallen \(1,\ldots, 9\) elk precies één keer gebruikt zijn, heet Lo-Shu en verschijnt bij de parameterkeuze \(a=5, b=3, c=1\): \[\begin{array}{ccc} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{array}\]