Onderlinge inproducten tussen vectoren veranderen volgens de Karakterisatie van orthogonaliteit met inproduct niet na overgang op hun beelden onder orthogonale afbeeldingen. In de volgende stelling karakteriseren we deze afbeeldingen met behulp van orthonormale stelsels.
Laat #V# een reële inproductruimte zijn. Voor een lineaire afbeelding #L:V\rightarrow V# zijn de volgende twee uitspraken equivalent:
- #L# is orthogonaal.
- Voor ieder orthonormaal stelsel #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# in #V# is #L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)# ook een orthonormaal stelsel.
#1.\Rightarrow 2.# Als #L# orthogonaal is, dan is volgens de Karakterisatie van orthogonaliteit met inproduct het inproduct invariant onder #L#. Laat #\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n# een orthonormaal stelsel zijn. Dan is het inproduct #\dotprod{L(\vec{a}_i)}{L(\vec{a}_j)}# gelijk aan #\dotprod{\vec{a}_i}{\vec{a}_j}#, en dus gelijk aan #1# als #i=j#, en gelijk aan #0# als #i\neq j#. Dit betekent dat #L(\vec{a}_1),\ldots,L(\vec{a}_n)# een orthonormaal stelsel is.
#2.\Rightarrow 1.# Laat #\vec{x}\in V#. We laten zien dat #\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}#. Als #\vec{x}=\vec{0}#, dan is dit waar omdat beide zijden gelijk aan #0# zijn. Veronderstel nu dat #\vec{x}# ongelijk is aan de nulvector. Dan heeft #\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}# lengte #1#. Dit is dus een orthonormaal stelsel van één vector, zodat #\norm{L\left(\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}\right)}=1#. We leiden hieruit af:
\[\begin{array}{rcl}\norm{L(\vec{x})}&=&\norm{\norm{\vec{x}}\cdot L\left(\frac{1}{\norm{ \vec{x}}}\vec{x}\right)} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }L}\\ &=&\norm{\vec{x}}\cdot \norm{L\left(\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}\right)}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{multiplicativiteit van de norm}}\\ &=&\norm{\vec{x}}\cdot 1\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{hierboven afgeleide gelijkheid}}\\&=&\norm{\vec{x}}\end{array}
\]
De tweede uitspraak zegt dat een orthogonale afbeelding #L# orthonormale stelsels in orthonormale stelsels overvoert.
Als #V# eindigdimensionaal is, dan hoeven we de beelden van slechts één orthonormaal stelsel te bestuderen om te kunnen concluderen dat een lineaire afbeelding orthogonaal is.
Laat #V# een reële inproductruimte zijn en veronderstel dat #V# eindige dimensie #m# heeft. Voor een lineaire afbeelding #L:V\rightarrow V# zijn de volgende drie uitspraken equivalent:
- #L# is orthogonaal.
- Voor ieder orthonormaal stelsel #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}# in #V# is #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_n)}# een orthonormaal stelsel.
- Er is een orthonormale basis #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}# van #V# waarvoor #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots , L(\vec{a}_m)}# een orthonormale basis is.
#1.\Rightarrow 2.# Dit volgt uit de vorige stelling.
#2.\Rightarrow 3.# Kies een orthonormale basis #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}# van #V# (zo'n basis bestaat zoals uit de procedure van Gram-Schmidt volgt). Volgens uitspraak 2 is het stelsel #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots ,L(\vec{a}_m)}# dan ook orthonormaal en dus (vanwege de eerste uitspraak van stelling Eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren) onafhankelijk. Omdat #m=\dim {V}#, is dit stelsel een basis van #V#.
#3.\Rightarrow 1.# Laat #\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_m}# een orthonormale basis zijn als in uitspraak 3, zodat #\basis{L(\vec{a}_1),\ldots ,L(\vec{a}_m)}# een orthonormale basis is. Laat verder #\vec{x}\in V#. Als #\vec{x}=\lambda_1 \vec{a}_1 +\cdots + \lambda_m \vec{a}_m#, dan is #L(\vec{x})=\lambda_1 L(\vec{a}_1) + \cdots + \lambda_m L(\vec{a}_m)#. Nu passen we de Stelling van Pythagoras toe op beide uitdrukkingen (het kwadraat van de lengte van #\lambda_i \vec{a}_i# én van #\lambda_i L(\vec{a}_i)# is #\lambda_i^2# voor alle #i# in #1,\ldots,m#):
\[\norm{\vec{x}}^2 =\lambda_1^2 + \cdots + \lambda_m^2
\quad \hbox{en} \quad
\norm{L(\vec{x})}^2 = \lambda_1^2 + \cdots + \lambda_m^2
\] waaruit onmiddellijk volgt #\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}#.
Een belangrijk gevolg van deze stelling is dat, als #\vec{x}# en #\vec{y}# vectoren van dezelfde lengte in een eindigdimensionale inproductruimte #V# zijn, er een orthogonale afbeelding #L:V\to V# is met #L(\vec{x}) = \vec{y}#.
Om dit in te zien nemen we aan dat #\vec{x}# en #\vec{y}# ongelijk aan de nulvector zijn (dit kan want anders kunnen we voor #L# de identiteit op #V# nemen), breiden we #\frac{1}{\norm{\vec{x}}}\vec{x}# uit tot een orthonormale basis #\alpha# van #V# en #\frac{1}{\norm{\vec{y}}}\vec{y}# tot een orthonormale basis #\beta#, en kiezen we voor #L# de lineaire afbeelding die #\alpha# overvoert in #\beta#. Vanwege de implicatie #3\Rightarrow 1# is #L# orthogonaal.
Het zal blijken dat de derde uitspraak een sterk criterium is. Als we matrices van orthogonale afbeeldingen bespreken, dan zullen we deze uitspraak namelijk vertalen in een eenvoudig te verifiëren eigenschap van de matrix van de lineaire afbeelding ten opzichte van een orthonormale basis.
We vatten # \mathbb{R}^3# op als inproductruimte met het standaardinproduct.
Bestaat er een reëel getal #a# zó dat er een orthogonale afbeelding #L :\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3# is met \(L (\rv{1,0,0})=\frac{1}{21}\,\rv{a, 5, 20 }\)?
Ja
De te onderzoeken afbeelding #L# is lineair, en is dus dan en slechts dan orthogonaal als #\norm{L(\vec{x})}=\norm{\vec{x}}# voor alle vectoren #\vec{x}#. In het bijzonder moet dus gelden #\norm{L(\rv{1,0,0})}=\norm{\rv{1,0,0}}#. Dit leidt tot de volgende vergelijking met onbekende #a#, die we vervolgens herschrijven: \[\begin{array}{rcl}\norm{\dfrac{1}{21}\,\rv{a, 5, 20}}&=&1\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift voor }L\text{ ingevuld}}\\ \dfrac{1}{21}\cdot \norm{\rv{a, 5, 20}}&=&1\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{multiplicativiteit van de norm}}\\
\norm{\rv{a, 5, 20}}&=&21\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }21}\\
a^2+{5}^2+{20}^2&=&{21}^2\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lengte berekend en aan beide zijden gekwadrateerd}}\\
a^2&=&16\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{alle constante termen naar rechts gebracht}}\\
a&=&\pm 4 \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{kwadratische vergelijking opgelost}}
\end{array}\]Omdat #\rv{1,0,0}# en #\frac{1}{21}\cdot\rv{4,5,20}# gelijke lengte hebben, kan #L# volgens het commentaar Uitbreiding bij bovenstaande stelling
Orthogonale afbeeldingen op eindigdimensionale inproductruimten en orthonormale stelsels uitgebreid worden tot een orthogonale afbeelding. Het antwoord luidt dus Ja.
Orthogonale afbeeldingen en orthonormale bases
