Complexe getallen: Complexe functies
Complexe machten
We hebben gezien dat we met complexe getallen kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen tot een gehele macht. We zullen nu laten zien hoe we in de complexe getallen de #\e#-macht en de sinus- en cosinusfunctie definiëren. Dit leidt tot voorbeelden van complexe functies, dat wil zeggen: functies die een domein en een bereik hebben dat uit complexe getallen bestaat. Ons eerste doel is voor elk positief reëel getal #a# de macht #a^z# met als exponent een willeurig complex getal #z# te definiëren. We beginnen met het speciale grondtal #a=\e#, het getal van Euler.
Complexe machten van het getal van Euler
Voor ieder complex getal #z# definiëren we het complexe getal #\e^z# door
\[\begin{cases}
|\e^z|& = \ \e^{{\Re} (z)}\\
\arg (\e^z) & =\ {\Im} (z)\pmod{2\pi}
\end{cases}
\]De functie die aan #z# het complexe getal #\e^z# toevoegt, noemen we ook de exponentiële functie en geven we aan met #\exp#, zodat #\exp(z)=\e^z#.
In deze definitie gebruiken we de #\e#-macht, die bekend is van de reële getallen.
Als #z# een reëel getal is, dan is #|\e^z|=\e^z# en #\arg (\e^z)=0#, wat samenvalt met de bekende, reële, #\e#-macht. Derhalve is de definitieverzameling van de #\e#-macht uitgebreid van #\mathbb{R}# naar #\mathbb{C}#. Met andere woorden: het domein van de functie #\exp# is #\mathbb{C}#.
Omdat de reële #\e#-macht nooit gelijk is aan #0#, is de complexe #\e#-macht ook nooit gelijk aan #0#: \[|\e^z |=\e^{{\Re}(z)} \neq 0\tiny.\] Een getal waarvan de absolute waarde ongelijk aan #0# is, is dus zelf ook ongelijk aan #0#.
Formule van Euler Voor elk reëel getal #\varphi# geldt:\[\e^{\varphi\cdot\ii}=\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot\ii\tiny.\]
Bijgevolg hebben we een zeer compacte notatie voor het complexe getal gegeven door de poolcoördinaten #r# voor de absolute waarde en #\varphi# voor het argument: \[r\cdot \e^{\varphi\cdot\ii}\tiny.\]We noemen deze uitdrukking de polaire vorm van het complexe getal.
Bewijs: Het rechter lid heeft absolute waarde #1# en argument #\varphi#. We gaan na dat het linker lid dezelfde absolute waarde en hetzelfde argument modulo #{2\pi}# heeft.
\[\begin{array}{rcl}\left|\e^{\varphi\cdot\ii}\right|&=&\e^0=1\\ \arg\left(\e^{\varphi\cdot\ii}\right) &=& \Im\left(\varphi\cdot\ii\right)=\varphi\pmod{2\pi}\end{array}\]
De laatste opmerking volgt uit het feit dat het complexe getal met absolute waarde #r# en argument #\varphi# uit de theorie van poolcoördinaten bekend is als #r\cdot\cos(\varphi)+r\cdot\sin(\varphi)\cdot\ii#, wat gelijk is aan #r\cdot\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\cdot\ii\right)#, en nu dus herschreven kan worden als #r\cdot\e^{\varphi\cdot\ii}#.
Met behulp van de absolute waarde #|z|# en de hoofdwaarde van het argument #\arg(z)# is de polaire vorm van #z# ook te schrijven als
\[z=|z|\cdot\e^{\arg(z)\cdot\ii}\tiny.\]
Na de macht van #\e# kunnen we natuurlijk ook andere grondtallen aan.
Complexe macht van een positief reëel getal
Laat #r# een positief reëel getal zijn en #z# een complex getal. Dan schrijven we
\[ r^z=\e^{\ln(r)\cdot z}\tiny.\]
Voorbeeld: #2^{\ii} = \e^{\ln(2)\cdot\ii} = \cos(\ln(2))+\sin(\ln(2))\cdot\ii#.
Als #z# een reëel getal is, dan komt deze definitie overeen met de bekende:
\[ r^z=\left(\e^{\ln(r)}\right)^{z}=\e^{\ln(r)\cdot z}\tiny.\]
Later, als we de complexe logaritme invoeren, kunnen we #\ln(r)# gebruiken als in bovenstaande formule om de complexe macht van een complex getal #r# de definiëren. De mogelijkheden voor het grondtal #r# in de formule zijn daarmee niet meer beperkt tot een positief reëel getal. Dat is ten dele al eerder gebeurd voor #z=\frac{1}{2}# en #r=-1#: bij de definitie van de wortel van een negatief getal hebben we de wortel van #-1# ingevoerd als #\sqrt{-1}=\ii#, zodat #(-1)^{\frac{1}{2}}=\ii#. We hebben opgemerkt dat ook #-\ii# als kwadraat #-1# heeft. In het algemeen moeten we, om #r^{\frac{1}{2}}# te definiëren, een keuze maken voor het teken. Die keuze wordt door de complexe logaritme gemaakt.
Hiermee is de complexe macht van elk positief reëel getal vastgelegd.
\[\e^{-2.0+\mathrm{i}}=\e^{-2.0}\cdot \e^{\mathrm{i}}=\e^{-2.0}\cdot \left(\cos(1.0)+\sin(1.0)\cdot\ii\right)\approx 0.1+0.1\cdot\ii\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
