Poolcoördinaten

Complexe getallen: Invoering van de complexe getallen

Poolcoördinaten

Vermenigvuldiging van complexe getallen heeft ook een meetkundige interpretatie. Daarbij gebruiken we de nu te bespreken begrippen absolute waarde en argument. Deze begrippen gelden voor elk plat vlak, dus ook voor het complexe vlak, en worden zodoende gebruikt voor complexe getallen.

We kunnen in het vlak een punt \(P\), behalve met Cartesische coördinaten, ook weergeven met poolcoördinaten, die uit twee waarden bestaan, de absolute waarde en het argument:

de absolute waarde is de afstand van \(P\) tot de oorsprong;
het argument is de georiënteerde hoek van het lijnstuk met oorsprong als beginpunt en het punt \(P\) als eindpunt met de positieve #x#-as, gemeten in radialen.

De absolute waarde van het complexe getal #z=a+b\ii#, waarin #a# en #b# reële getallen zijn, is gelijk aan #\sqrt{a^2+b^2}# en wordt aangegeven met #|z|#.

Het argument van een complex getal #z# dat ongelijk aan #0# is, is slechts op een veelvoud van #2\pi# na bepaald. Als we het argument van #z# groter dan #- \pi# en kleiner dan of gelijk aan #\pi# kiezen, dan spreken we van de hoofdwaarde van het argument, wat we noteren als #\arg(z)#.

Absolute waardeDe absolute waarde is dus een functie met domein #\mathbb C# en bereik #\left\{x\in{\mathbb R}\mid x\ge0\right\}#, de verzameling niet-negatieve reële getallen. Als #z# een reëel getal is, dan valt de bekende definitie van absolute waarde samen met deze nieuwe definitie (bedenk dat #\sqrt{a^2}=|a|#).

De absolute waarde wordt soms ook wel norm genoemd.

Argument

Voor de oorsprong is het argument ongedefinieerd. Door de eis #-\pi\lt\arg(z)\le\pi#, ofwel #\arg(z)\in\ivoc{-\pi}{\pi}#, bereiken we dat #\arg# een functie is met domein #{\mathbb C}\setminus\{0\}# en bereik #\ivoc{-\pi}{\pi}#.

De hoofdwaarde van het argument van punten op de negatieve reële as is #\pi#.

Het woord argument wordt ook gebruikt als argument van een functie. Het gebeurt vaker in de wiskunde dat een woord meerdere betekenissen heeft. Door steeds duidelijk te maken of het argument hoort bij een complex getal dan wel een functie, kan verwarring voorkomen worden. Soms spreken we ook wel over complex argument in plaats van argument om aan te geven dat we niet over het argument van een functie praten.

Van poolcoördinaten naar Cartesische coördinaten

Laat #r# een positief getal en #\varphi# een willekeurig reëel getal zijn. Dan is\[r\cdot\cos(\varphi)+r\cdot\sin(\varphi)\ii\]het unieke complexe getal met absolute waarde #r# en argument #\varphi#.

Het is bekend dat het punt op de eenheidscirkel in het complexe vlak dat de georiënteerde hoek #\varphi# met de positieve #x#-as maakt, de coördinaten #\rv{\cos(\varphi),\sin(\varphi)}# heeft. Het bijbehorende complexe getal is dan #\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\ii#. Het complexe getal met absolute waarde #r# en argument #\varphi# krijg je uit #\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\ii# door met de scalar #r# te vermenigvuldigen, want de hoek blijft hetzelfde en de absolute waarde wordt met #r# vermenigvuldigd.

In termen van de absolute waarde #|z|# en de hoofdwaarde #\arg(z)# van het argument is de formule ook te schrijven als\[z = |z|\cdot \left(\cos(\arg(z))+\sin(\arg(z))\cdot\ii\right)\tiny.\]

Vind de poolcoördinaten van het complexe getal #\ii#.

#\rv{r,\varphi}=# \(\rv{1,{{\pi}\over{2}}}\)

Immers, de straal #r# en het argument #\varphi# van #\ii# voldoen aan
\[\begin{array}{rcl}r &=&\sqrt{\left(0\right)^2+\left(1\right)^2}=1\\
\\
\cos(\varphi) &=&\dfrac{0}{r}= \dfrac{0}{1}=0\\
\\
\sin(\varphi) &=&\dfrac{1}{r}= \dfrac{1}{1}=1
\end{array}\]
Uit de laatste twee vergelijkingen leiden we af dat de hoofdwaarde van het argument #\varphi={{\pi}\over{2}}# is.

Zie onderstaande figuur voor een meetkundige interpretatie van de overgang van de standaardvorm van een complex getal naar die van poolcoördinaten. Het complexe getal is blauw getekend. De absolute waarde #r# en het argument #\varphi# ervan zijn rood getekend.

Nieuw voorbeeld