De twee bewerkingen van een vectorruimte, optelling en scalaire vermenigvuldiging, kunnen uitgevoerd worden in de bijbehorende coördinaatruimte:
Laat #n# een natuurlijk getal zijn en #\basis{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n}# een basis voor een reële vectorruimte #V#. Geef met #\vec{x}# en #\vec{y}# vectoren in # V# aan met coördinaten respectievelijk #\rv{x_1 ,\ldots ,x_n }# en #\rv{y_1 ,\ldots ,y_n }# ten opzichte van deze basis, en geef met #\lambda# een reëel getal aan.
- De coördinaatvector van #\vec{x}+\vec{y}# ten opzichte van de basis #\basis{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n}# is \[\rv{x_1 +y_1 ,\ldots ,x_n +y_n }\]
- De coördinaatvector van #\lambda \cdot\vec{x}# ten opzichte van de basis #\basis{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n}# is \[\rv{\lambda \cdot x_1 ,\ldots ,\lambda\cdot x_n }\]
Optelling en scalaire vermenigvuldiging in #V# corresponderen dus met de optelling en scalaire vermenigvuldiging van de coördinaten in #\mathbb{R}^n# ten opzichte van de basis #\basis{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n}#.
Door te coördinatiseren kunnen we vragen over vectorruimten terugbrengen tot vragen in #\mathbb{R}^n# of #\mathbb{C}^n#, waar we dan ons arsenaal aan rekentechnieken voor rijtjes getallen kunnen inzetten. De uiteindelijke vraag kan dan beantwoord worden door de gevonden resultaten terug te vertalen naar de oorspronkelijke vectorruimten.
In deze mogelijkheid ligt het grote belang van de vectorruimten #\mathbb{R}^n# en #\mathbb{C}^n#: zij staan als het ware model voor iedere reële, respectievelijk complexe, #n#-dimensionale vectorruimte #V#. Wiskundigen formuleren dat als: iedere #n#-dimensionale reële, respectievelijk complexe vectorruimte is isomorf met #\mathbb{R}^n#, respectievelijk #\mathbb{C}^n#.
De volgende stelling laat zien dat onafhankelijkheid op het niveau van coördinaten onderzocht kan worden.
Laat #\alpha# een basis zijn van de #n#-dimensionale reële vectorruimte #V# en #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# een stel vectoren in #V#. Dan geldt:
- #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# is dan en slechts dan onafhankelijk als het bijbehorend stel coördinaatvectoren in #\mathbb{R}^n# ten opzichte van #\alpha# onafhankelijk is.
- #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# is dan en slechts dan een basis van #V# als het bijbehorend stel coördinaatvectoren in #\mathbb{R}^n# ten opzichte van #\alpha# een basis is van #\mathbb{R}^n#.
Om na te gaan of de veeltermen #1+2x+3x^2#, #2+x-x^2#, #3+3x+2x^2# van de vectorruimte #P_2# van alle veeltermen in #x# van graad hoogstens #2# lineair afhankelijk zijn, kunnen we ons dus concentreren op het stel coördinaatvectoren #\rv{1,2,3}#, #\rv{2,1,-1}#, #\rv{3,3,2}# van dit stel ten opzichte van de basis #1#, #x#, #x^2# van #P_2#. Omdat de derde vector de som van de eerste twee is, vormt het drietal geen basis van #P_2#.
Het is natuurlijk ook direct te zien dat de derde veelterm de som van de eerste twee is. Het voordeel van de coördinaatvectoren is dat, op heen en terugvertaling na van de oorspronkelijke vectorruimte (hier #P_2#) naar #\mathbb{R}^n# (waarbij hier #n=3#), de methode om afhankelijkheid na te gaan alleen voor #\mathbb{R}^n# uitgevoerd hoeft te worden.
We tonen alleen het eerste onderdeel aan. Het tweede deel volgt daar namelijk onmiddellijk uit. Noteer de coördinaatvectoren ten opzichte van #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# met #\vec{b}_1, \ldots ,\vec{b}_m#. De coördinaatvector van #\lambda_1\cdot \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_m\cdot \vec{a}_m# is dan gelijk aan #\lambda_1 \cdot\vec{b}_1 + \cdots + \lambda_m \cdot\vec{b}_m#. Is nu #\lambda_1 \cdot\vec{a}_1 + \cdots + \lambda_m\cdot \vec{a}_m = \vec{0}#, dan volgt ook #\lambda_1\cdot \vec{b}_1 + \cdots + \lambda_m\cdot \vec{b}_m =\rv{0,\ldots ,0}# en omgekeerd, omdat de coördinaatvector van de nulvector #\rv{0,\ldots ,0}# is. Een niet-triviale relatie tussen #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# vertaalt dus in een niet-triviale relatie tussen de coördinaatvectoren #\vec{b}_1, \ldots ,\vec{b}_m#. Met andere woorden: #\vec{a}_1 , \ldots ,\vec{a}_m# is afhankelijk dan en slechts dan als #\vec{b}_1, \ldots ,\vec{b}_m# afhankelijk is.
Bovenstaande theorie leidt ook tot een andere beschouwingswijze van stelsels lineaire vergelijkingen.
Bekijk het stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden #x_1,\ldots,x_n#:
\[
\begin{array}{cc}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n= & b_1\\
\vdots & \vdots \\
a_{m1} x_1 +a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n= & b_m
\end{array}
\]
Laat #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# de kolommen van de coëfficiëntenmatrix zijn en laat verder #\vec{b}=\matrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}#. Dan kunnen we het stelsel in vectorvorm schrijven als
\[
x_1\cdot\vec{k}_1+x_2\cdot\vec{k}_2+\cdots+x_n\cdot\vec{k}_n=\vec{b}
\]
We proberen dus #\vec{b}# te schrijven als lineaire combinatie van de kolommen van de coëfficiëntenmatrix.
- Het stelsel heeft minstens één oplossing dan en slechts dan als #\vec{b}# in de ruimte opgespannen door de kolommen ligt.
- Het stelsel heeft precies één oplossing dan en slechts dan als de kolommen #\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n# bovendien onafhankelijk zijn. In dit geval levert de oplossing de coördinaten van de vector #\vec{b}# ten opzichte van de basis #\basis{\vec{k}_1,\ldots ,\vec{k}_n}#.
Blijkbaar is het vinden van een oplossing hetzelfde als het schrijven van de vector #\vec{b}# als een lineaire combinatie van de kolommen van de coëfficiëntenmatrix.
Wat is het verschil tussen #\mathbb{R}^2# en #\mathbb{E}^2#?
Met #\mathbb{E}^2# wordt het platte vlak aangegeven. Vaak wordt gezegd dat #\mathbb{R}^2# het platte vlak is. Dat is onjuist. Na keuze van een basis #\basis{\vec{a}_1, \vec{a}_2}# in #\mathbb{E}^2# kan iedere pijl #\vec{x}# in #\mathbb{E}^2# geschreven worden als #\vec{x}=x_1\cdot \vec{a}_1 +x_2\cdot\vec{a}_2 # en rekenen met pijlen kan teruggebracht worden tot rekenen met rijtjes van twee getallen, dus rekenen met coördinaatvectoren in #\mathbb{R}^2#.
Welke pijl in het vlak correspondeert met welk rijtje getallen hangt af van de basiskeuze. Omdat we vrijwel altijd berekeningen in het vlak terugbrengen tot berekeningen in #\mathbb{R}^2#, zijn we geneigd deze twee ruimten met elkaar te identificeren.
Coördinaten van som en scalair veelvoud
