Het begrip vectorruimte

Vectorruimten: Vectorruimten en lineaire deelruimten

Het begrip vectorruimte

In het hoofdstuk Vectorrekening in vlak en ruimte hebben we kennis gemaakt met vectoren in het vlak en in de ruimte. We hebben ook geleerd hoe we ermee kunnen rekenen: we kunnen ze optellen en met getallen (scalairen) vermenigvuldigen. Hierbij maken we gebruik van een aantal voor de hand liggende rekenregels, waarvan we de belangrijkste hieronder samenvatten.

Eigenschappen van vectorrekening

Voor alle vectoren #\vec{p}#, #\vec{q}#, #\vec{r}# en voor alle getallen (scalairen) #\lambda#, #\mu# gelden de volgende acht regels:

Commutativiteit: #\vec{p} +\vec{q} =\vec{q}+\vec{p}#
Associativiteit van de optelling: #(\vec{p}+\vec{q})+\vec{r} =\vec{p}+(\vec{q}+\vec{r})#
Nulvector: Er is een nulvector #\vec{0}# met de eigenschap #\vec{p} +\vec{0}=\vec{p}# voor iedere #\vec{p}#
Tegengestelde: Iedere vector #\vec{p}# heeft een tegengestelde #-\vec{p}# zó dat #\vec{p} + -\vec{p}= \vec{0}# (we schrijven dan kortweg #\vec{p}-\vec{p}=\vec{0}#)
Scalar één: #1\cdot \vec{p}=\vec{p}#
Associativiteit van de scalaire vermenigvuldiging: # (\lambda \cdot\mu )\cdot\vec{p} =\lambda \cdot(\mu\cdot \vec{p})#
Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging over de scalaire optelling: # (\lambda +\mu )\cdot\vec{p} =\lambda\cdot \vec{p} +\mu \cdot\vec{p}#
Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging over de vectoroptelling: #\lambda\cdot (\vec{p} +\vec{q})=\lambda\cdot \vec{p} +\lambda\cdot \vec{q}#

De eerste vier regels staan in Rekenregels voor de optelling van vectoren. De vijfde regel komt voor in de definitie van scalairen en de zesde regel is te vinden in Rekenregels voor scalaire vermenigvuldiging. De laatste twee regels zijn geformuleerd in Rekenregels voor scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren.

Vanwege associativiteit van de optelling kunnen we de uitdrukking in elk lid van de vergelijking in 2. zonder haakjes schrijven: #\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}#.

Vanwege associativiteit van de scalaire vermenigvuldiging kunnen we de uitdrukking in elk lid van de vergelijking in 6. zonder haakjes schrijven: #\lambda \cdot\mu \cdot\vec{p}#.

De verzameling #\mathbb{R}# van alle reële getallen, met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voldoet aan alle regels.

De vermenigvuldiging #2\cdot 3# wordt daarbij gezien als de scalaire vermenigvuldiging van de scalar #2# met de vector #3#.

We benaderen het begrip vector nu op een abstracter niveau.

Vectorruimte
Als we een verzameling objecten hebben die we onderling kunnen optellen en waarvoor een vermenigvuldiging met getallen is gedefinieerd, zodanig dat de bovenstaande acht rekenregels gelden (de axioma's van een vectorruimte), dan heten die objecten vectoren en heet die verzameling een vectorruimte of lineaire ruimte.

Vectoren noteren we vaak met een pijl boven een symbool, zoals in #\vec{v}# of #\vec{AB}#.

De getallen waar we mee vermenigvuldigen kunnen de reële getallen of de complexe getallen zijn. In het eerste geval spreken we van een reële vectorruimte en in het tweede van een complexe vectorruimte. Deze getallen worden vaak scalairen genoemd (enkelvoud: scalar).

Andere notaties voor #\vec{v}# die vaak in de literatuur voorkomen zijn: #\bar{v}#, #{\bf v}# en #\underline{v}#.

Andere verzamelingen van getallen dan de complexe of reële kunnen ook gebruikt worden, maar vallen buiten het kader van deze cursus.

Hoewel pijlen in een vlak #\mathbb{E}^2# of in de ruimte #\mathbb{E}^3# elk maar één voorbeeld van een vectorruimte vormen, is het vaak handig de intuïtie te ondersteunen met plaatjes van #\mathbb{E}^2# of #\mathbb{E}^3#.

Reële getallen

De reële getallen vormen een reële vectorruimte met de gebruikelijke optelling en de gewone vermenigvuldiging als scalaire vermenigvuldiging. In dit uitzonderlijke geval vallen de scalairen samen met de vectoren.

Uit de acht rekenregels kunnen we nog meer (zeer voor de hand liggende) rekenregels afleiden.

Enkele eenvoudige gevolgen van de definitie van vectorruimte

In elke vectorruimte gelden de volgende regels:

Er is precies één nulvector.
De tegengestelde van elke vector is uniek.
Voor elke vector #\vec{u}# geldt #0\cdot \vec{u} =\vec{0}#.
Voor elk getal #\lambda# geldt #\lambda \cdot \vec{0}=\vec{0}#.
Als #\vec{u}# een vector ongelijk aan de nulvector is, en #\lambda# een scalar zodat #\lambda\cdot\vec{u}=\vec{0}#, dan is #\lambda=0#.

1. Er is precies één nulvector: stel dat #\vec{0}# en #\vec{n}# nulvectoren zijn. Dan geldt\[\begin{array}{rclll}\vec{n}&=&\vec{n} +\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{0}\text{ is een nulvector}}\\ &=&\vec{0} +\vec{n}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{commutativiteit}}\\ &=&\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{n}\text{ is een nulvector}}\end{array}\]Dus #\vec{n}=\vec{0}#, waaruit we concluderen dat de nulvector uniek is.

2. De tegengestelde van elke vector is uniek: stel dat #-\vec{v}# en #\vec{u}# beide tegengestelde vectoren van #\vec{v}# zijn. Dan geldt\[\begin{array}{rclll}-\vec{v}&=&\left(-\vec{v}\right)+\vec{0} &&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{0}\text{ is een nulvector}}\\ &=&\left(-\vec{v}\right) +\left(\vec{v}+\vec{u}\right)&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{u}\text{ is een tegengestelde van }\vec{v}}\\ &=&\left(\left(-\vec{v}\right) +\vec{v}\right)+\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{associativiteit}}\\ &=&\left(\vec{v}+\left(-\vec{v}\right) \right)+\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{commutativiteit}}\\ &=&\vec{0}+\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{-\vec{v}\text{ is een tegengestelde van }\vec{v}}\\&=&\vec{u}+\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{commutativiteit}}\\&=&\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{\vec{0}\text{ is een nulvector}}\end{array}\]Dus #-\vec{v}=\vec{u}#, waaruit we concluderen dat #\vec{v}# precies één tegengestelde heeft.

3. De wet #0\cdot \vec{u}=\vec{0}# volgt uit\[\begin{array}{rclll}0\cdot \vec{u}&=&(1-1)\cdot\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{0=1-1}\\&=&\vec{u}-\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributiviteit}}\\&=&\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{tegengestelde vector}}\\\end{array}\]

4. De wet #\lambda\cdot\vec{0}=\vec{0}# volgt uit de vorige regel als #\lambda=0#. Veronderstel daarom dat #\lambda\ne0#. Dan geldt, voor elke vector #\vec{v}#:\[\begin{array}{rclll} \vec{v}+\lambda\cdot\vec{0}&=&1\cdot\vec{v}+\lambda\cdot\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{scalar één}}\\&=&\lambda\cdot\lambda^{-1}\cdot\vec{v}+\lambda\cdot\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{associativiteit}}\\&=&\lambda\cdot\left(\lambda^{-1}\cdot\vec{v}+\vec{0}\right)&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributiviteit}}\\&=&\lambda\cdot\left(\lambda^{-1}\cdot\vec{v}\right)&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{nulvector}}\\&=&\vec{v}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{associativiteit}}\\\end{array}\] We concluderen met behulp van de eerste regel dat #\lambda\cdot\vec{0}# gelijk aan de nulvector #\vec{0}# is.

5. We bewijzen deze uitspraak uit het ongerijmde. Stel dat de voorwaarde geldt en dat #\lambda\ne0#. Dan komen we als volgt tot een tegenspraak\[\begin{array}{rclll}\vec{u}&=&1\cdot\vec{u}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{scalar één}}\\&=&\left(\lambda^{-1}\cdot\lambda\right)\cdot\vec{u}&&\\ &=&\lambda^{-1}\cdot\left(\lambda\cdot\vec{u}\right)&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{associativiteit}}\\ &=&\lambda^{-1}\cdot\left(\vec{0}\right)&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{aanname}}\\ &=&\vec{0}&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{onderdeel 4}}\end{array}\]

Hieronder staan voorbeelden van veelgebruikte vectorruimten.

Het Euclidische vlak #\mathbb{E}^2# en de Euclidische ruimte #\mathbb{E}^3# zijn vectorruimten.

De regels die een vectorruimte definiëren, gelden voor deze voorbeelden, zoals besproken.

Nieuw voorbeeld