De som van #n# termen van een rekenkundige rij kan worden geschreven als:
\[s_n=t_1+t_2+t_3+\cdots+t_{n-1}+t_n=\sum_{k=1}^{n} t_k\]
Als we de som voor grote waarden van #n# willen berekenen, dan is het veel werk om stuk voor stuk alle termen uit te rekenen en die op te tellen. Het is veel sneller om de algemene formule voor de som van de termen van een rekenkundige rij te gebruiken.
De som \(s_n =\sum_{k=1}^{n} t_k\) van de eerste #n# termen van een rekenkundige rij #t# met aanvangsterm #t_1# en verschil #v# is gelijk aan
\[s_n = n\cdot t_1+\dfrac{(n-1)\cdot n}{2}\cdot v\]
Een andere uitdrukking, die de laatste term gebruikt in plaats van het verschil, is:
\[s_n =\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_n)\]
Om deze formule af te leiden, bewijzen we eerst de tweede formule
\[s_n =\sum_{k=1}^{n} t_k=\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_n)\]
Hierbij maken we gebruik van een belangrijke eigenschap van rekenkundige rijen, namelijk dat de som van de eerste en de laatste term is gelijk aan de som van de tweede en de voorlaatste term en ook gelijk aan de som van de derde en de op twee na laatste term, enzovoort. Kijk maar:
\[t_1+t_n=t_1+t_1+(n-1) \cdot v=t_1+v+t_1+(n-2) \cdot v=t_2+t_{n-1}\]
\[\begin{array}{rclclcl}t_2+t_{n-1}&=&t_1+v+t_n- v&=&&&t_1+t_{n}\\ t_3+t_{n-2}&=&t_2+v+t_{n-1}- v&=&t_2+t_{n-1}&=&t_1+t_n\\ t_4+t_{n-3}&=&t_3+v+t_{n-2}- v&=&t_3+t_{n-2}&=&t_1+t_n\\ \vdots &=&\vdots&=&\vdots &=&t_1+t_n \end{array}\]
Dit betekent dat als we #s_n# als volgt kunnen berekenen:
\[\begin{array}{rcl}
t_1+t_2+t_3+\cdots +t_{n-1}+t_n&=&(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+(t_3+t_{n-2})+\cdots \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{termen gesorteerd op gelijke paren}}\\
&=& (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\cdots \end{array}\]
We gaan na hoe het einde van deze herschikking eruit ziet. Als #n# even is, dan is de laatste term
\[ t_{\frac{n}{2}}+t_{\frac{n}{2}+1} = \left(t_{1}+t_{n}\right)\]
Er staan dus #\frac{n}{2}# termen #\left(t_{1}+t_{n}\right)#, zodat de som gelijk is aan \(s_n = \frac{n}{2}\cdot\left(t_{1}+t_{n}\right)\) zoals beweerd.
Als #n# oneven is, dan zou de laatste term \(\left(t_{\frac{n+1}{2}}+t_{\frac{n+1}{2}}\right)\) zijn, ware het niet dat we dan #t_{\frac{n+1}{2}}# dubbel tellen. De som #s_n# heeft dus #\frac{n-1}{2}# termen #\left(t_{1}+t_{n}\right)# en één term \(\frac{1}{2}\left(t_{1}+t_{n}\right)\), zodat
\[s_n = \left(\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2}\right)\cdot \left(t_{1}+t_{n}\right)=\frac{n}{2}\cdot\left(t_{1}+t_{n}\right) \] zoals beweerd. Het blijkt dus dat de tweede formule geldt voor alle natuurlijke getallen #n#.
Om de eerste formule van de stelling hieruit af te leiden, vervangen we #t_n# met de directe formule door #t_1+(n-1)\cdot v# in de tweede formule:
\[\begin{array}{rcl} s_n &=&\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_n)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovenstaande formule}}\\ &=&\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_1+(n-1)\cdot v)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{t_n=t_1+(n-1)\cdot v\text{ ingevuld}}\\ &=& n\cdot t_1+\dfrac{n}{2}(n-1)\cdot v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt en vereenvoudigd}} \end{array}\]
De eerste formule laat zien dat de som een kwadratische functie van #n# is:
\[s_n = \frac{v}{2}\cdot n^2 +\left(t_1-\frac{v}{2}\right)\cdot n\]
Met deze formules kunnen we eenvoudig de som berekenen van #n# termen van de rekenkundige rij als we het aantal termen weten, de eerste term, en het verschil of de laatste term. Hieronder staat een aantal voorbeelden.
Wat is de som van de eerste #5# termen van de rekenkundige rij met #t_1=7# en #v=7#?
#\displaystyle\sum_{k=1}^{5}t_k=# #105#
Om de som #\sum_{k=1}^{5}t_k# van de eerste #5# termen te berekenen gebruiken we de formule
\[\sum_{k=1}^{5}t_k = 5\cdot t_1+ \frac{1}{2}\cdot (5-1)\cdot 5\cdot v\]
We weten dat #t_1=7# en #v=7#, zodat
\[\sum_{k=1}^{5}t_k = 5\cdot 7+ \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5\cdot 7=105\]
We kunnen natuurlijk ook de tweede formule van de stelling gebruiken. Dan moeten we #t_1# en #t_{5}# kennen. #t_1# is gegeven en is gelijk aan #7#. Om #t_{5}# te berekenen, stellen we de directe formule op. Deze is gelijk aan: \[t_k=t_1+v \cdot (k-1)=7+7 \cdot (k-1)\]
Dus \[t_{5}=7+7 \cdot (5-1)=35\]
Nu kunnen we de tweede formule voor de som gebruiken. Deze luidt:\[\sum_{k=1}^{n}t_k=\frac{1}{2} \cdot n \cdot (t_1+t_{n})\]
Dus dat geeft voor #5# termen: \[\sum_{k=1}^{5}t_k=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (t_1+t_{5}) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (7+35)=105\]
Rekenkundige reeksen
