Inverse goniometrische functies

Goniometrie: Goniometrische functies

Inverse goniometrische functies

We hebben gezien dat de sinus, cosinus en tangens periodieke functies zijn. Als we de vergelijking #\sin(x)=\tfrac{1}{2}# willen oplossen, vinden we dus oneindig veel oplossingen. Nu zullen we het domein van de functies beperken, zodat we een inverse functie kunnen definiëren. Deze inverse functie kan ons helpen bij het oplossen van vergelijkingen.

Inverse functie sinus, cosinus en tangens

We definiëren de inverse functies van sinus, cosinus en tangens als volgt:

\[\begin{array}{rcl} \blue x=\arcsin(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\sin(\blue x) \;\text{ en }\; -\frac{\pi}{2} \leq \blue x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ \blue x=\arccos(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\cos(\blue x) \;\text{ en }\; 0 \leq \blue x \leq \pi \\ \\ \blue x=\arctan(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\tan(\blue x) \;\text{ en }\; -\frac{\pi}{2} \lt \blue x \lt \frac{\pi}{2}\end{array}\]

Voorbeeld

#\arcsin\left(\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \blue{\frac{\pi}{4}}#

want

#\sin\left(\blue{\frac{\pi}{4}}\right)=\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}# en #-\frac{\pi}{2} \leq \blue{\frac{\pi}{4}} \leq \frac{\pi}{2}#

Rekenmachine

Op de rekenmachine heten de knoppen #\arcsin#, #\arccos# en #\arctan# vaak #\sin^{-1}#, #\cos^{-1}# en #\tan^{-1}#. In deze cursus wordt die notatie niet gebruikt om verwarring te voorkomen met #\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)# (cosecans), #\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)# (secans) en #\frac{1}{\tan(x)}#.

Eigenschappen van de arcsin, arccos en de arctan

De functie #f(x)=\arcsin(x)# heeft

domein: #\ivcc{-1}{1}#
bereik: #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

De grafiek is het spiegelbeeld van #f(x)=\sin(x)# op het domein #\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# in de lijn #y=x#.

Plaatje

De functie #f(x)=\arccos(x)# heeft

domein: #\ivcc{-1}{1}#
bereik: #\ivcc{0}{\pi}#

De grafiek is het spiegelbeeld van #f(x)=\cos(x)# op het domein #\ivcc{0}{\pi}# in de lijn #y=x#.

plaatje

De functie #f(x)=\arctan(x)# heeft

domein: alle waarden van #x#
bereik: #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}#

De grafiek heeft horizontale asymptoten bij #y=-\frac{\pi}{2}# en #y=\frac{\pi}{2}# en is het spiegelbeeld van #f(x)=\tan(x)# op het domein #\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}# in de lijn #y=x#.

plaatje

Verband arcsin en arccos

Wanneer we goed naar de grafieken van #f(x)=\arcsin(x)# en #f(x)=\arccos(x)# kijken, dan zien we dat er geldt:

\[\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin(x) \text{ voor } -1\le x\le 1\]

Dit komt doordat #f(x)=\sin(x)# en #f(x)=\cos(x)# dezelfde grafiek hebben alleen verschoven met #\frac{\pi}{2}#.

Bepaal #\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)# in radialen.

#\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=# \(\dfrac{\pi}{4}\)

Immers, #\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}# en #-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{4}\leq\dfrac{\pi}{2}#.

Nieuw voorbeeld