Regels voor rechthoekige driehoeken

Goniometrie: Hoeken met sinus, cosinus en tangens

Regels voor rechthoekige driehoeken

In rechthoekige driehoeken geldt een belangrijke regel voor de verhouding tussen de zijden.

Stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek met rechte hoek #\orange C# en rechthoekszijden #\blue a# en #\green b# en schuine zijde #\orange c# geldt voor de lengtes van de zijden:

\[\blue a^2+\green b^2=\orange c^2\]

Deze regel noemen we de stelling van Pythagoras.

Met deze stelling kunnen we dus bij een rechthoekige driehoek waarvan we twee zijden weten de derde zijde berekenen.

Als we bijvoorbeeld de schuine zijde willen bereken, dan maken we #\orange c# vrij in de stelling van Pythagoras:

\[\orange c = \sqrt{\blue a ^2 + \green b^2}\]

geogebra plaatje

In een rechthoekige driehoek #ABC# met rechte hoek #C# is #AB# de #\orange{\textbf{schuine zijde}}# en zijn #AC# en #BC# de rechthoekszijden:

#AC# is de #\green{\textbf{aanliggende rechthoekszijde}}# van #\blue \alpha#
#BC# is de #\blue{\textbf{overstaande rechthoekszijde}}# van #\blue \alpha#

geogebra plaatje

Naast de verhouding tussen de zijden van een rechthoekige driehoek zijn er ook belangrijke verhoudingen tussen de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek.

Sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek

In een rechthoekige driehoek #\triangle ABC# met rechte hoek #C# worden gedefinieerd:

#\sin(\blue \alpha)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{\blue a}{\orange c}#
#\cos(\blue \alpha)=\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{\green b}{\orange c}#
#\tan(\blue \alpha)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=\frac{\blue a}{\green b}#

We noemen #\sin# (sinus), #\cos# (cosinus) en #\tan# (tangens) goniometrische functies.

Met de goniometrische functies kunnen we in een rechthoekige driehoek met behulp van een hoek en een zijde de andere zijden berekenen. Ook kunnen we met behulp van twee zijden en de inverse de hoek berekenen.

Rekenmachine

De knoppen #\sin#, #\cos# en #\tan# zitten op de rekenmachine. Let daarbij op dat als we in graden werken, de rekenmachine ook in graden staat en niet in radialen. In het vervolg zullen we nog kijken naar radialen, voor nu werken we alleen met graden.

Ook de inversen van de goniometrische functie #\sin^{-1}# of #\arcsin#, #\cos^{-1}# of #\arccos# en #\tan^{-1}# of #\arctan# zitten op de rekenmachine. Deze kunnen we gebruiken om de grootte van een hoek te berekenen van een driehoek waarvan we twee zijden weten.

Andere hoek

We hebben nu de uitdrukking voor hoek #\blue \alpha# gegeven, maar we kunnen op dezelfde wijze ook uitdrukkingen voor hoek #\green \beta# geven. Hierbij geldt dat de aanliggende rechthoekszijde dan gelijk is aan zijde #\blue a# en de overliggende rechthoekszijde aan zijde #\green b#.

Ezelsbruggetje

Een ezelsbruggetje om deze regels te onthouden zijn de afkortingen:

SOS #\Rightarrow# Sinus van de hoek is Overstaande zijde gedeeld door Schuine zijde
CAS #\Rightarrow# Cosinus van de hoek is Aanliggende zijde gedeeld door Schuine zijde
TOA #\Rightarrow# Tangens van de hoek is Overstaande zijde gedeeld door Aanliggende zijde

Houd in gedachten dat het niet toegestaan is om een wetenschappelijke rekenmachine met #\cos#, #\sin# and #\tan# te gebruiken in het OMPT examen. Deze opgave zijn alleen om het onderwerp meer concreet te maken en om te laten zien dat het mogelijk is om #\cos#, #\sin# and #\tan# te berekenen met een rekenmachine. In het OMPT examen is dit niet nodig, omdat alle vragen exact beantwoord moeten worden. Bovendien, gebruiken we in het OMPT examen getallen die uit het hoofd berekend kunnen worden.

Gegeven is driehoek #ABC#:

Bereken zijde #AC# exact.

#AC=# #2^{{{3}\over{2}}}#

#\begin{array}{rcl}AB^2+BC^2&=&AC^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stelling van Pythagoras}} \\
2^2+2^2&=&AC^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{AB=2 \text{ en } BC=2} \\
8&=&AC^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \\
\sqrt{8}&=&AC \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten wortel getrokken}} \\
AC&=&2^{{{3}\over{2}}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{links en rechts omgedraaid en indien mogelijk vereenvoudigd}} \end{array}#

Nieuw voorbeeld