Exponentiële functies en logaritmen: The base #e# and the natural logarithm *
Het grondgetal e en de natuurlijke logaritme
Het getal #e\approx 2.71828182846\ldots#, het getal van Euler genoemd, is een belangrijk getal binnen de wiskunde dat een paar bijzondere eigenschappen heeft, zoals we later in het hoofdstuk Differentiëren zullen zien. Er zijn verschillen definities voor het getal van Euler.
#\begin{array}{rclcl}
1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots & = & \orange{\e} &\phantom{x}& \blue{\text{Som van oneindige termen (i.e. een oneindige reeks)}} \\ \\
\lim\limits_{n \to \infty} \big( 1+ \frac{1}{n} \big)^n & = & \orange{\e} & & \blue{\text{Gebruikt bij de studie van samengestelde rente}} \\ \\
\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\orange{\e}^h - 1}{h} & = & 1 && \orange{\e}\blue{\text{ is het unieke nummer waarvoor deze limiet }1 \text{ is}}
\end{array}#
Het getal #\e# kan worden gebruikt als grondtal in een exponentiële uitdrukking, #\e^n#, dan gelden de gebruikelijke rekenregels voor machten.
Het getal #e# kunnen we ook nemen als grondgetal van een logaritme. Dit noemen we de natuurlijke logaritme en noteren we met #\ln#.
De natuurlijke logaritme
De natuurlijke logaritme is
\[\ln(\blue{x})=\log_\orange{e}(\blue{x})\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\\ \ln(\orange{e}^\blue{x})&=&\blue{x}\\ \end{array}\]
Bij de natuurlijke logaritme gebruiken we dezelfde rekenregels als bij andere logaritmen. Ook het omschrijven naar andere grondtallen gaat hetzelfde bij de natuurlijke logaritme.
Herschrijf de volgende uitdrukking, vereenvoudig zo ver mogelijk.
\[\log_7(\e)\cdot\ln(7)\]
#\begin{array}{rcl}\log_7(\e)\cdot\ln(7)&=&\dfrac{\ln(\e)}{\ln(7)}\cdot\ln(7)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\log_a\left(x\right)=\dfrac{\log_b\left(x\right)}{\log_b\left(a\right)}}\\
&=&\ln\left(\e\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigen}}\\
&=&1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\ln(\e)=1}
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
