Horizontale asymptoten

Functies: Limieten en asymptoten

Horizontale asymptoten

Asymptoten en limieten hebben veel met elkaar te maken. We zullen nu kijken hoe we de definitie van een de limiet kunnen gebruiken om horizontale asymptoten te vinden.

De functie #\blue{f(x)}# heeft een horizontale asymptoot #y=\green a# naar oneindig als #\lim_{x \to \infty}\blue{f(x)}=\green a#.

In woorden: als #x# heel groot wordt, dan komt #\blue{f(x)}# willekeurig dicht bij de waarde #\green a#.

Op dezelfde wijze geldt #\blue{f(x)}# heeft een horizontale asymptoot #y=\green a# naar min oneindig als #\lim_{x \to -\infty}\blue{f(x)}=\green a#.

In woorden: als #x# heel klein wordt, dan komt #\blue{f(x)}# willekeurig dicht bij de waarde #\green a#.

Voorbeeld

#\blue{f(x)}=\blue{\frac{1}{x+1}}#

heeft een horizontale asymptoot #y=\green0#

naar oneindig, want

#\lim_{x \to \infty} \blue{\frac{1}{x+1}}=\green0#

Grafiek voorbeeld

In de figuur zien we de grafiek van #\blue{f(x)}=\blue{\frac{1}{x+1}}#. We zien in de grafiek dat #\blue{f(x)}# ook naar min oneindig de lijn #y=\green0# als horizontale asymptoot heeft. Dit komt doordat ook #\lim_{x \to -\infty} \blue{\frac{1}{x+1}}=\green0#.

Berekenen van asymptoten

Voor het bepalen of een functie een horizontale asymptoot naar oneindig heeft, bepalen we dus de #\lim_{x \to \infty}\blue{f(x)}# en om te bepalen of een functie een horizontale asymptoot naar min oneindig heeft, bepalen we dus de #\lim_{x \to -\infty}\blue{f(x)}#.

We kunnen hierbij de theorie over Het begrip limiet gebruiken.

Laat #f(x)# de functie zijn gegeven door \[f(x)={{6 x^2+4 x-3}\over{5 x^2-x+5}}\]
Bepaal de horizontale asymptoten in oneindig en min oneindig van deze functie.

Geef je antwoord in de vorm #y=a# voor een geschikt getal #a#. Als de functie geen horizontale asymptoot heeft vul dan # geen# in.

De horizontale asymptoot van #f(x)# in oneindig is #y={{6}\over{5}}#.
De horizontale asymptoot van #f(x)# in min oneindig is #y={{6}\over{5}}#.

Om de horizontale asymptoot van #f(x)# in oneindig te bepalen, rekenen we het volgende uit:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x\rightarrow \, \infty } f(x)
&=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow \, \infty } {{6 x^2+4 x-3}\over{5 x^2-x+5}}\\
&& \qquad \blue{\text{de functie } f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \text{ ingevuld}}\\
&=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow \, \infty } \frac{x^2\cdot\left({{4}\over{x}}-{{3}\over{x^2}}+6\right)}{x^2\cdot\left(-{{1}\over{x}}+{{5}\over{x^2}}+5\right)}\\
&& \qquad \blue{\text{de graad van } q(x) \text{ is gelijk aan }2 \text{, dus we halen } x^2 \text{ buiten haakjes}}\\
&=& \displaystyle \lim_{x\rightarrow \, \infty } \frac{{{4}\over{x}}-{{3}\over{x^2}}+6}{-{{1}\over{x}}+{{5}\over{x^2}}+5}\\
&& \qquad \blue{x^2 \text{ weggedeeld}}\\
&=& \displaystyle\frac{6}{5}\\
&& \qquad \blue{ \text{de limiet bepaald}}\\

\end{array}\]
De limiet voor #x# naar oneindig is #{{6}\over{5}}#, dus de asymptoot in oneindig gelijk is aan #y={{6}\over{5}}#.

Op dezelfde manier vinden we
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \, -\infty } f(x)= {{6}\over{5}}\]
zodat de asymptoot in min oneindig gelijk is aan #y={{6}\over{5}}#.

Hieronder staan de grafiek van de functie en de horizontale asymptoot. Merk op dat #{{6}\over{5}} \approx 1.20#.

Nieuw voorbeeld