Breuksplitsen

Functies: Gebroken functies

Breuksplitsen

We hebben gezien hoe we een breuk met meerdere termen in de teller kunnen splitsen in een som van meerdere breuken met dezelfde noemer. We merkten daarbij op dat de noemers niet zomaar gesplitst kunnen worden. Toch zijn er situaties waarbij het wel mogelijk is de noemer te splitsen. Dit kan onder andere behulpzaam zijn bij het vinden van de primitieve van dit soort breuken, zoals we in het Integreren hoofdstuk zullen zien.

Hieronder staan een aantal voorbeelden van situaties waarin breuken gesplitst kunnen worden.

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{7x+31}{(x+3) \cdot (x+5)}&=&\dfrac{5}{x+3}+\dfrac{2}{x+5} \\ \\ \dfrac{6x-4}{x\cdot (x-2)}&=&\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x-2} \\ \\ \dfrac{12x+15}{x^2+x-2}&=& \dfrac{9}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}\end{array}\]

Wanneer we goed naar deze voorbeelden kijken, zien we dat als we de noemers rechts met elkaar vermenigvuldigen we de noemer links krijgen.

We zullen nu kijken hoe we een breuk van de vorm #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}#, waarbij de noemer #x^2+bx+c# te schrijven is als #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)# kunnen splitsen in twee breuken.

Stappenplan breuksplitsen

	Stappenplan	Voorbeeld
	We splitsen een breuk van de vorm #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}#, waarbij #x^2+bx+c# te schrijven is als #(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#\frac{1}{x^2+5x+6}#
Stap 1	Schrijf #x^2+bx+c=(x+\blue p)\cdot (x+\green q)#.	#x^2+5x+6=(x+\blue 2) \cdot (x+\green 3)#
Stap 2	Schrijf #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{x+\green q}#	#\frac{\orange1}{x^2+5x+6}=\frac{A}{x+\blue 2}+\frac{B}{x+\green 3}#
Stap 3	Breng het rechter lid onder één noemer en vergelijk dan de tellers aan beide kanten. Dat geeft de vergelijking: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\green q)+B \cdot (x+\blue p)\]	\[\orange1=A \cdot (x+\green3) + B \cdot (x+\blue2)\]
Stap 4	Vereenvoudig de vergelijking uit stap 3 door de haakjes uit te werken en de termen met #x# bij elkaar te nemen. \[\purple l \cdot x+\orange m=\left(A+B\right) \cdot x + A \cdot \green q + B \cdot \blue p \]	\[\orange1=(A+B) \cdot x+\green3A+\blue2B\]
Stap 5	Zet een stelsel lineaire vergelijkingen op door de coëfficiënten van de termen links en rechts in de vergelijking van stap 4 te vergelijken. \[\lineqs{\purple l &=& A+B\cr \orange m &=& A \cdot \green q + B \cdot \blue p\cr}\]	\[\lineqs{A+B&=&\purple0\cr \green3A+\blue2B&=&\orange1\cr}\]
Stap 6	Los het stelsel uit stap 5 op met behulp van substitutie of eliminatie.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-1}\]
Stap 7	Vul de gevonden waarden in stap 6 in de rechterkant van de vergelijking van stap 2 in voor het antwoord.	#\frac{1}{x+\blue2}+\frac{-1}{x+\green3}#

p=q

Wanneer de kwadratische noemer te schrijven is als #(x+\blue p)^2#, dan is het ook mogelijk om breuk te splitsen. Dit werkt op dezelfde manier, alleen moeten we een klein trucje toepassen door in stap 2 te splitsen in #\frac{A}{x+\blue p} + \frac{B}{(x+\blue p)^2}#. We kunnen dan het onderstaande stappenplan gebruiken, waarbij het verschil dus in stap 2 zit.

	Stappenplan	Voorbeeld
	We splitsen een breuk van de vorm #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}#, waarbij #x^2+bx+c# te schrijven is als #(x+\blue p)^2#.	#\frac{x+1}{x^2+6x+9}#
Stap 1	Schrijf #x^2+bx+c=(x+\blue p)^2#.	#x^2+6x+9=(x+\blue 3)^2#
Stap 2	Schrijf #\frac{\purple l \cdot x+\orange m}{x^2+bx+c}=\frac{A}{x+\blue p}+\frac{B}{(x+\blue p)^2}#	#\frac{x+\orange1}{x^2+6x+9}=\frac{A}{x+\blue3}+\frac{B}{(x+\blue3)^2}#
Stap 3	Breng het rechter lid onder één noemer en vergelijk dan de tellers aan beide kanten. Dat geeft de vergelijking: \[\purple l \cdot x+\orange m=A\cdot(x+\blue p)+B \]	\[x+\orange1=A \cdot (x+\blue3) + B\]
Stap 4	Vereenvoudig de vergelijking uit stap 3 door de haakjes uit te werken en de termen met #x# bij elkaar te nemen.	\[x+\orange1=A \cdot x+\blue3A+B\]
Stap 5	Zet een stelsel lineaire vergelijkingen op door de coëfficiënten van de termen links en rechts in de vergelijking van stap 4 te vergelijken.	\[\lineqs{A&=&\purple1\cr \blue3A+B&=&\orange1\cr}\]
Stap 6	Los het stelsel uit stap 5 op met behulp van substitutie of eliminatie.	\[\lineqs{A=1 \cr B=-2}\]
Stap 7	Vul de gevonden waarden in stap 6 in de rechterkant van de vergelijking van stap 2 in voor het antwoord.	#\frac{1}{x+\blue3}+\frac{-2}{(x+\blue3)^2}#

Algemeen

Dit stappenplan beschrijft breuksplitsen van de noemer voor een vrij specifieke situatie, maar deze methode werkt ook algemener wanneer de noemer van de breuk te schrijven is als een product. In deze cursus zullen we daar niet verder op ingaan.

Discriminant noemer

De eis dat #x^2+bx+c# te schrijven is als #(x+\blue p) \cdot (x+\green q)# is gelijk aan de eis dat de discriminant van de kwadratische vergelijking #x^2+bx+c=0# groter is dan #0#.

Daarnaast is de eis dat #x^2+bx+c# te schrijven is als #(x+\blue p)^2# gelijk aan de eis dat de discriminant van de kwadratische vergelijking #x^2+bx+c=0# gelijk is aan #0#.

Splits #\frac{5-4\cdot x}{x^2-4\cdot x-45}# in een som van twee breuken met lineaire noemers.

#\frac{5-4\cdot x}{x^2-4\cdot x-45}=# #\frac{-{{31}\over{14}}}{x-9}+\frac{-{{25}\over{14}}}{x+5}#

Stap 1	Met behulp van ontbinden in factoren, vinden we #x^2-4\cdot x-45=(x-9) \cdot (x+5)#.
Stap 2	We schrijven #\frac{5-4\cdot x}{x^2-4\cdot x-45}=\frac{A}{x-9}+\frac{B}{x+5}#
Stap 3	We brengen de breuken aan de rechterkant van de vergelijking onder één noemer en vergelijken dan de tellers. Dat geeft de vergelijking: \[5-4\cdot x=A\cdot \left(x+5\right)+B\cdot \left(x-9\right)\]
Stap 4	We vereenvoudigen de vergelijking uit stap 3 door de haakjes uit te werken: \[5-4\cdot x=B\cdot x+A\cdot x-9\cdot B+5\cdot A\]
Stap 5	We stellen een stelsel lineaire vergelijkingen op door de coëfficiënten van de vergelijkingen in stap 4 te vergelijken. \[\lineqs{B+A=-4 \cr 5\cdot A-9\cdot B=5 \cr}\]
Stap 6	De oplossingen van het stelsel uit stap 5 is gelijk aan: \[\lineqs{A=-{{31}\over{14}} \cr B=-{{25}\over{14}} \cr}\]
Stap 7	We vullen nu de gevonden waarden uit stap 6 in stap 2 in. Dat geeft als antwoord: \[\frac{-{{31}\over{14}}}{x-9}+\frac{-{{25}\over{14}}}{x+5}\]

Nieuw voorbeeld