Lineaire vergelijkingen

Lineaire formules en vergelijkingen: Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

Lineaire vergelijkingen

We hebben net gezien dat lineaire formules elkaar kunnen snijden. Als twee lineaire formules elkaar snijden, is het interessant om te weten waar hun snijpunt ligt. Soms kunnen we dat vanuit de grafiek aflezen, maar vaak is dat niet nauwkeurig. Daarom bespreken we hier een methode om van twee lineaire formules te bepalen waar hun snijpunt ligt. We zullen ons eerst richten op het bepalen van de #x#-coördinaat van dit snijpunt.

Line‍aire vergelijking

Als we twee formules aan elkaar gelijkstellen krijgen we een lin‍eaire vergelijking. Neem bijvoorbeeld de formules #\blue{y=x+1}# (doorgetrokken) en #\green{y=2x}# (gestreept). Als we deze formules gelijkstellen krijgen we de lin‍eaire vergelijking \[x+1=2x\] De oplossing van een lineaire vergelijking in onbekende #x# is de waarde van #x# waarvoor de vergelijking kloppend is.

geogebra plaatje

We willen nu bekijken hoe we een lineaire vergelijking oplossen. Daarvoor passen we stappen toe, waarbij de vergelijkingen gelijk blijven. We noemen dit equivalente vergelijkingen.

Equiv‍alente vergelijkingen

Twee vergelijkingen die precies dezelfde oplossing hebben, noemen we equivalent. Om aan te geven dat twee vergelijkingen equivalent zijn kunnen we het symbool #\Leftrightarrow# gebruiken.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl}2x+2=1 &\Leftrightarrow&2x=-1 \\ \\ 3x=2 &\Leftrightarrow& 6x=4 \end{array}\]

Er zijn een aantal regels waarmee we equivalente vergelijkingen kunnen maken. Met deze regels kunnen we systematisch de lineaire vergelijking herschrijven tot de vorm #x=a#, waarbij #a# een getal is. Dit noemen we het herleiden van de vergelijking. We zullen nu de toegestane stappen bespreken.

Twee vergelijkingen zijn equivalent als aan beide kanten dezelfde term wordt opgeteld of afgetrokken.

We zetten equivalente vergelijkingen vaak onder elkaar zoals hiernaast.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rrcl}&3x+4&=&5\\ &3x+4-4&=&5-4 \\ & 3x&=&1\end{array}\]

Balans

Deze regel is in te zien als je de vergelijking beschouwt als een ouderwetse balans. Hierbij zijn er twee soorten blokjes. Blokjes met #x# kilo (de termen met #x#) en blokjes van #1# kilo (de getallen).

Op de linkerschaal van de balans ligt de linker zijde van de vergelijking en op de rechterschaal de rechter zijde van de vergelijking. De balans is dan in evenwicht, want de linker en rechter zijde van de vergelijking zijn gelijk.

Wanneer we aan beide kanten van de balans er een blokje van #x# toevoegen, blijft de balans in evenwicht. Hetzelfde geldt voor weghalen en voor blokjes van 1 kilo (getallen) in plaats van #x# kilo.

Voorbeeld

Als we de vergelijking #4x+2=3x+5# bekijken, liggen er op de linkerschaal #4# blokjes van #x# kilo en #2# blokjes van #1# kilo. Op de rechterschaal liggen #3# blokjes van #x# kilo en #5# blokjes van #1# kilo.

	Linkerschaal	Rechterschaal
Oorspronkelijke vergelijking	#4# blokjes van #x# kilo en #2# blokjes van #1# kilo	#3# blokjes van #x# kilo en #5# blokjes van #1# kilo
Beide kanten #2# blokjes van #1# kilo weghalen	#4# blokjes van #x# kilo	#3# blokjes van #x# kilo en #3# blokje van #1# kilo
Beide kanten #3# blokjes van #x# kilo weghalen	#1# blokje van #x# kilo	#3# blokjes van #1# kilo

In alle drie de stappen is de balans in evenwicht, omdat we aan beide kanten hetzelfde hebben gedaan. Daardoor weten we nu dat het blokje van #x# kilo #3# kilogram weegt. Dus de oplossing van de vergelijking is #x=3#.
Dat kunnen we controleren door #x=3# in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: \[4 \cdot 3 +2 = 3 \cdot 3 +5\]

Twee vergelijkingen zijn equivalent als je beide zijden met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal deelt. De getallen moeten wel ongelijk aan #0# zijn.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl} \frac{1}{2}\cdot x+2&=&5 \\ 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot x+2\right)&=&2 \cdot 5 \\ x+4&=&10 \end{array}\]

Balans

Opnieuw is deze regel in te zien door te kijken naar een balans. Wanneer de linker en rechterschaal van de balans in evenwicht zijn en we leggen op beide schalen precies twee keer zo veel, dan is de balans nog steeds in evenwicht. Hetzelfde geldt als we er precies drie keer zo veel op leggen of als we de helft op beide schalen weghalen.

Voorbeeld

Als we de vergelijking #4x=8# hebben liggen er op de linkerschaal #4# blokjes van #x# kilo. Op de rechterschaal liggen #8# blokjes van #1# kilo.

	Linkerschaal	Rechterschaal
Oorspronkelijke vergelijking	#4# blokjes van #x# kilo	#8# blokjes van #1# kilo
Beide kanten delen door #4#	#1# blokje van #x# kilo	#2# blokjes van #1# kilo

In beide stappen is de balans in evenwicht. Een blokje van #x# kilo is dus #2# kilo. De oplossing van de vergelijking is dus #x=2#. We kunnen dat controleren door #x=2# in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen. Dan vinden we:

\[4 \cdot 2 =8\]

Met behulp van deze twee toegestane stappen kunnen we stapsgewijs een lineaire vergelijking oplossen. In de voorbeelden hieronder wordt duidelijk hoe dat gaat.

Vind de unieke waarde van #x# die voldoet aan #-4\cdot x+6=5#.

Schrijf je antwoord in de vorm #x=\dots# en vereenvoudig zo ver mogelijk.

#x={{1}\over{4}}#

#\begin{array}{rcl}
-4\cdot x+6&=&5\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
-4\cdot x&=&-1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden }6\text{ afgetrokken}}\\
x&=&\dfrac{-1}{-4}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden door }-4\text{ gedeeld}}\\
x&=&\displaystyle {{1}\over{4}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rechter lid vereenvoudigd}}
\end{array}#

Nieuw voorbeeld