Differentiëren: De afgeleide
De raaklijn in een punt
Bekijk de grafiek van de functie #f(x)=2\sqrt{x}# hiernaast. We kunnen voor het differentiequotiënt in #\blue{a}# met verschil #\green{h}# een rechte lijn #\orange{k}# opstellen die door de twee punten #\rv{\blue{a},f(\blue{a})}# en #[\blue{a}+\green{h},f(\blue{a}+\green{h})]# heen gaat, zoals we gedaan hebben bij lineaire functies.
Als we #\green{h}# steeds kleiner nemen, zien we dat lijn #\orange{k}# rondom punt #\blue{a}# steeds meer gelijk gaat lopen aan de grafiek. We zeggen dat de lijn steeds meer gaat lijken op de lijn die de grafiek in #\blue{a}# raakt.
Een belangrijk begrip is de raaklijn. Dit is een rechte lijn door een punt op een grafiek die dezelfde helling als de grafiek in dat punt heeft.
De raaklijn
We noemen een lijn die een grafiek raakt in punt #\blue{P}#, de raaklijn in dat punt #\blue{P}#. Dit betekent dat de helling van de raaklijn en van de grafiek in punt #\blue{P}# gelijk zijn, waardoor ze rondom punt #\blue{P}# sterk op elkaar lijken.
De raaklijn #\orange{k}# is een lineaire functie #\orange{k(x)}=\orange{ax+b}#, hierbij is de richtingscoëfficiënt #a# gelijk aan de helling van de grafiek in het punt #\blue{P}#.
Je kan hiernaast het punt #\blue{P}# verplaatsen om te zien wat de raaklijn #\orange{k}# aan de grafiek van #f(x)=\tfrac{1}{5}x^3-2x# is in het punt #\blue{P}#.
Welke van de lijnen is/zijn raaklijnen van de grafiek #f(x)#?
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
