Algebra: Rekenen met machten en wortels
Gebroken machten
Een gebroken macht is een macht waarbij de exponent een breuk is. Een wortel kan geschreven worden als een gebroken macht.
|
Voor #\blue a\geq 0# en gehele #\orange n \geq 2# geldt: \[\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}\] |
Voorbeelden \[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}\] |
|
Voor #\blue a \geq 0# en gehele #\orange n, \purple m \geq 2# geldt: \[\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}\] |
Voorbeelden \[\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}\] |
Voor gebroken machten gelden dezelfde rekenregels als gehele machten.
#\begin{array}{rcl}
\left(x^{\frac{1}{5}} \cdot c \cdot a^{-5}\right)^{3} &=& \left(x^{\frac{1}{5}}\right)^{3} \cdot c^{3} \cdot \left(a^{-5}\right)^{3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\
&=& x^{\frac{1}{5} \cdot 3} \cdot c^{3} \cdot a^{-5 \cdot 3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\
&=& x^{{{3}\over{5}}} \cdot c^{3} \cdot a^{-15}
\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldigd in de exponent}}\\
&=& \dfrac{ \sqrt[5]{x^3} \cdot c^{3}}{a^{15}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{negatieve exponent en gebroken macht weggewerkt met rekenregels }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ en } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
