De quotiëntregel

Differentiëren: Quotiëntregel

De quotiëntregel

We zagen eerder dat we functies kunnen vermenigvuldigen en samenstellen. We kunnen ook functies door elkaar delen. We noemen het resultaat de quotiënt. Het quotiënt van de functies #\blue{g(x)}=\blue{x^3+1}# en #\green{h(x)}=\green{x+1}# is de functie #f(x)=\frac{\blue{x^3+1}}{\green{x+1}}#. We noemen in dit geval, net als met normale breuken, #\blue{g(x)}# de teller en #\green{h(x)}# de noemer.

We kunnen de afgeleide van een quotiënt berekenen door middel van de quotiëntregel.

Quotiëntregel

Voor het quotiënt van twee functies \[f(x)=\dfrac{\blue{g(x)}}{\green{h(x)}}\] geldt:

\[f'(x)=\dfrac{\green{h(x)}\cdot \orange{g'(x)}-\blue{g(x)}\cdot \purple{h'(x)}}{(\green{h(x)})^2}\]

Voorbeeld

\[f(x)=\dfrac{\blue{2x}}{\green{x+1}}\] geeft \[f'(x)=\dfrac{(\green{x+1})\cdot \orange{2}-\blue{2x}\cdot \purple{1}}{(\green{x+1})^2
}\]

We kunnen de quotiëntregel vrij eenvoudig bewijzen met behulp van de productregel. Stel, we hebben een functie #f# van de vorm #f=\frac{g}{h}#. Beide kanten met #h# vermenigvuldigen geeft #g=h\cdot f#. Hier de productregel op toepassen geeft
\[g'=h'\cdot f + h\cdot f'\]
Dit kunnen we vervolgens om schrijven naar
\[h\cdot f'=g'-h'\cdot f\]
Beide kanten delen door #h# geeft
\[f'=\frac{g'-h'\cdot f}{h}\]
Waarna we #f=\frac{g}{h}# invullen
\[f'=\frac{g'-h'\cdot \dfrac{g}{h}}{h}\]
Nu vermenigvuldigen we de teller en de noemer met #h#
\[f'=\frac{g'\cdot h-h'\cdot g}{h^2}\]
Dit is de quotiëntregel.

Ezelsbruggetje

Een ezelsbruggetje om de quotiëntregel te onthouden is 'nat min tan'.

Hier betekent nat dat we de noemer met de afgeleide van de teller vermenigvuldigen, tan betekent dat we de teller met de afgeleide van de noemer vermenigvuldigen. De min betekent uiteraard dat we tan van nat af moeten trekken, het enige wat we dan nog moeten onthouden is dat we moet delen door de noemer in het kwadraat!

Om de quotiëntregel toe te passen, kunnen we onderstaand stappenplan volgen.

Stappenplan quotiëntregel

	Stappenplan	Voorbeeld
	Gegeven is een functie #f(x)# die een quotiënt is van twee functies.	#\dfrac{\sin(x)}{x^2+1}#
Stap 1	Onderscheid de teller #\blue{g(x)}# en de noemer #\green{h(x)}#.	#\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}# #\green{h(x)}=\green{x^2+1}#
Stap 2	Bereken #\orange{g'(x)}# en #\purple{h'(x)}#.	#\orange{g'(x)}=\orange{\cos(x)}# #\purple{h'(x)}=\purple{2x}#
Stap 3	Bereken de afgeleide van #f# met de formule: \[f'(x)=\dfrac{\green{h(x)}\cdot \orange{g'(x)}-\blue{g(x)}\cdot \purple{h'(x)}}{(\green{h(x)})^2}\]	#\dfrac{(\green{x^2+1})\cdot \orange{\cos(x)}-\blue{\sin(x)}\cdot \purple{2x}}{(\green{x^2+1})^2}#

Bereken de afgeleide van #f(x)=\frac{2\cdot x^2+2}{4\cdot x^3+1}#.

#f'(x)=# #{{-8\cdot x^4-24\cdot x^2+4\cdot x}\over{\left(4\cdot x^3+1\right)^2}}#

Stap 1	We bepalen #g(x)# en #h(x)# zodat #f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}#. #\begin{array}{rcl} g(x)&=&2\cdot x^2+2\\ h(x)&=&4\cdot x^3+1\end{array}#
Stap 2	We berekenen de afgeleide #g'(x)# en #h'(x)#. #\begin{array}{rcl} g'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(2\cdot x^2+2\right)\\ &&\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&4\cdot x\\ &&\blue{\text{somregel, machtsregel en constanteregel}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(4\cdot x^3+1\right)\\ &&\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&12\cdot x^2\\ &&\blue{\text{somregel, machtsregel en constanteregel}}\end{array}#
Stap 3	#\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}f(x)&=&\dfrac{h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\\ &&\blue{\text{quotiëntregel}}\\ &=&\dfrac{4\cdot x\cdot (4\cdot x^3+1)-12\cdot x^2\cdot (2\cdot x^2+2)}{(4\cdot x^3+1)^2}\\ &&\blue{\text{ingevuld}}\\ &=&\displaystyle {{-8\cdot x^4-24\cdot x^2+4\cdot x}\over{\left(4\cdot x^3+1\right)^2}}\\ &&\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}#

Nieuw voorbeeld