Differentiëren: De som- en productregel
De somregel
Bij het differentiëren van machtsfuncties zagen we al dat we een constante factor naar buiten konden halen. We kunnen dit in het algemeen doen bij het differentiëren van functies van de vorm #\orange{c}\cdot \blue{f}#.
De constanteregel
Voor een constante #\orange{c}# en een functie #\blue {f}# geldt:
\[ \dfrac{\dd}{\dd x}\left(\orange{c}\cdot \blue{f(x)}\right)=\orange{c}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\green{\orange{3}\blue{x^3}} \right)&=&\orange{3}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x^3} \\ &=& \orange{3}\cdot 3x^2 \\ &=& 9x^2\end{array}\]
We kunnen ook de som van twee functies nemen. De somregel zegt wat de afgeleide is van de som van twee functies.
Voor de som van twee functies #\blue{f(x)}# en #\green{g(x)}# geldt de somregel:
\[\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{f(x)}+\green{g(x)}) =\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{g(x)}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{x}+\green{x^2})&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{x^2}\\&=&1+2x\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^2+7\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\
&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^2\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(7\cdot \sqrt{x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{\dd}{\dd x}f(x)+\frac{\dd}{\dd x}g(x)}\\
&=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{2}\right)+7\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{{{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{constanteregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot\frac{\dd}{\dd x}f(x)\text{ en }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\
&=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\left(2\cdot x^{{1}}\right)+7\cdot\left({{1}\over{2}}\cdot x^{{-{{1}\over{2}}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{machstregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}}\\
&=&\displaystyle\sqrt{7}\cdot\left(2\cdot x\right)+7\cdot\left({{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x\text{ herschreven}}\\
&=&\displaystyle 2\cdot \sqrt{7}\cdot x+{{7}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
