Exponentiële vergelijkingen

Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen

Exponentiële vergelijkingen

Net hebben we geoefend met het oplossen van vergelijkingen van een vorm vergelijkbaar met #\blue{a}+\log_{\green{b}} \left(x \right)=\purple{c}#. We gaan nu kijken naar vergelijkingen van de vorm #\blue{a}^x=\green{b}#.

\[\blue{a}^x=\green{b}\]

geeft

\[x=\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl}\blue{2}^x&=&\green{3}\\x&=&\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right)\end{array}\]

Exacte oplossingDe uitdrukking #\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right) = 1.58496250072 \ldots # heeft oneindig veel decimalen en kan niet als een breuk van gehele getallen opgeschreven worden. In zulke gevallen laten we de logaritme staan in het antwoord. We zeggen dat dit de exacte oplossing van de vergelijking is.

In het voorbeeld hierboven hebben we het meest eenvoudige geval gekozen. De vergelijkingen kunnen ook lastiger gemaakt worden, zoals in de volgende voorbeelden.

Los de volgende vergelijking op voor #x#:
\[
5^{x+2}=625
\]

Geef je antwoord in de vorm #x=\ldots# en gebruik geen machten in je antwoord.

#x=2#

\(\begin{array}{rcl}
5^{x+2}&=&625\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
x+2&=&\log_{5}\left(625\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^x=b\text{ geeft }x=\log_a\left(b\right)}\\
x+2&=&4\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{logaritme uitwerken}}\\
x&=&2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante termen naar rechts halen}}\\
\end{array}\)

Nieuw voorbeeld