Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische formules tekenen
Snijpunten van een parabool met de assen
Het snijpunt van een kwadratische formule met de #x#-as zijn de punten waar de #y#-waarde van de formule gelijk is aan #0#.
Daarom zijn de #x#-coördinaten van de snijpunten met de #x#-as van een kwadratische formule #y=ax^2+bx+c# de oplossingen van de vergelijking:
\[ax^2+bx+c=0\]
We kunnen deze bepalen met behulp van ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen en/of de abc-formule.
Er zijn twee, één of geen snijpunten met de #x#-as.
VoorbeeldBekijk de kwadratische formule #y=2x^2+8x-10#.
De #x#-coördinaten van de snijpunten met de #x#-as vinden we door het oplossen van de vergelijking: \[2x^2+8x-10=0\]
Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}2x^2+8x-10&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ x^2+4x-5&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }2}\\ \left(x+5\right) \left(x-1\right)&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{ontbonden in factoren}}\\x+5=0 &\lor& x-1=0 \\ &&\phantom{xx}\blue{A \cdot B \Leftrightarrow A=0 \lor B=0}\\x=-5 &\lor& x=1 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{constanten naar andere kant halen}} \end{array}\]
De snijpunten van #y=2x^2+8x-10# met de #x#-as zijn dus #\rv{-5,0}# en #\rv{1,0}#.
Het snijpunt van een kwadratische formule met de #y#-as is de waarde van de formule als #x=0#.
In het algemeen bepalen we het snijpunt met de #y#-as door #x=0# te substitueren in de kwadratische formule.
In het bijzonder is het snijpunt met de #y#-as van de kwadratische formule #y=\blue a x^2+\green b x +\purple c# gelijk aan #\rv{0,\purple c}#.
Er is altijd één snijpunt met de #y#-as.
VoorbeeldBekijk de kwadratische formule #y=2x^2+8x-10#.
De #y#-coördinaten van de snijpunten met de #y#-as vinden we door het substitueren van #x=0# in de formule.
\[y=2 \cdot 0^2+8 \cdot 0 -10=-10\]
Dus het snijpunt van #y=2x^2+8x-10# met de #y#-as is gelijk aan #\rv{0,-10}#
Snijpunten met de #x#-as: #\left\{\rv{-30,0}, \rv{0,0}\right\}#
We bepalen eerst het snijpunt met de #y#-as. Er is altijd één snijpunt met de #y#-as. Hierbij is de #y#-waarde van het snijpunt met de #y#-as gelijk aan de waarde die we vinden als we #x=0# in de formule substitueren. Dat geeft:
\[y={{0^2}\over{6}}+5\cdot 0=0\]
Dus de coördinaten van het snijpunt met de #y#-as zijn: #\rv{0,0}#.
Vervolgens bepalen we de snijpunten met de #x#-as.
De snijpunten met de #x#-as zijn de punten waarvoor geldt #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
{{x^2}\over{6}}+5\cdot x &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
{{1}\over{6}}\cdot x \cdot \left(x+30\right)&=&0\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ontbinden in factoren}}\\
{{1}\over{6}}\cdot x=0 &\lor& x+30=0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{A \cdot B =0 \text{ dan en slechts dan als }A=0 \lor B=0}\\
x=0 &\vee& x=-30 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{constante termen naar de andere kant gehaald}}\\
\end{array}\]
De coördinaten van de snijpunten met de #x#-as zijn dus: #\rv{-30,0}# en #\rv{0,0}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
