Toepassingen van differentiëren: Functieanalyse
Lokale minima en maxima
Laten we nog even terugkijken naar een opgave uit week 4.
Het functievoorschrift van de raaklijn heeft de vorm #l(x)=a\cdot x+b#. We moeten dus de waarden voor #a# en #b# vinden.
De helling #a# van de raaklijn moet zijn #a=f'(5)#. De afgeleide van #f# is #f'(x)=10-2\cdot x#. Dat betekent dat #a=f'(5)=0#.
De formule van de raaklijn ziet er dan uit als: #l(x)=0 \cdot x +b#. Je hoeft nu alleen nog #b# te berekenen. Dit gaat eenvoudig. De raaklijn gaat door #\rv{5,29}#. Dus #b=29-0 \cdot 5 = 29#. Het functievoorschrift voor de raaklijn is dus #l(x)=29#.
Je ziet dat de raaklijn een horizontale lijn is. Als een functie verandert van stijgend naar dalend (of van dalend naar stijgend), dan verandert het teken van de afgeleide, zodat de afgeleide gelijk is aan #0# in het overgangspunt.
We hebben gezien dat als een functie daalt, zijn afgeleide negatief is en dat als een functie stijgt zijn afgeleide positief is. We kunnen dit ook omdraaien.
Stationaire punten
Laat #f# een differentieerbare functie zijn. Een punt #x# met #f'(x)=0# wordt een stationair punt van #f# genoemd.
Stationaire punten zeggen iets over het gedrag van een functie, want een functie kan alleen veranderen van stijgend naar dalend en andersom in een stationair punt.
Nu gaan we eerst kijken naar de definitie van een lokaal maximum en minimum voor we kijken hoe we de stationaire punten kunnen gebruiken om deze extremen te vinden.
We zeggen dat #f# een lokaal maximum in #p# heeft als er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# ligt met #f(x)\le f(p)# voor alle #x\in\ivoo{c}{d}\cap I#.
We zeggen dat #f# een lokaal minimum in #p# heeft als er een open interval #\ivoo{c}{d}# om #p# ligt met #f(x)\ge f(p)# voor alle #x\in\ivoo{c}{d}\cap I#.
Alle lokale minima en maxima bij elkaar noemen we de extreme punten.
Punten op de rand van #I# kunnen ook lokale maxima zijn. Als een lokaal maximum niet op de rand van #I# zit, dan kan het open interval #\ivoo{c}{d}# geheel in #I# gekozen worden.
Lokale extrema zijn stationaire punten
Als #I# een open interval is, als #f# differentieerbaar is in #p# en als #p# een lokaal maximum of minimum van #f# is, dan geldt #f'(p)=0#. Dus een lokaal maximum of minimum is altijd een stationair punt.
Let op: zoals je in het eerste voorbeeld hieronder ziet, is een stationair punt niet altijd een lokaal maximum of minimum.
Immers, we moeten een differentieerbare functie #f# geven met de volgende eigenschappen:
- #f'(0)=0# (dit betekent dat #x=0# een stationair punt van #f# is)
- #0# is geen lokaal minimum en geen lokaal maximum van #f#
De waarde van #f# in #0# is #0#. Omdat #x^3\lt0# als #x\lt0# en #x^3\gt 0# als #x\gt0#, heeft #f# in elk interval om #0# punten waarin een grotere waarde dan #f(0)# en punten waarin een kleinere waarde dan #f(0)# aangenomen wordt. In het bijzonder is #x=0# geen lokaal minimum en geen lokaal maximum van #f#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
