De eerste uitspraak volgt uit de rekenregels voor de som, het product en het quotiënt van twee limieten. Voor bijvoorbeeld de som moeten we laten zien dat #\lim_{x\to a} (f+g)(x) = (f+g)(a)#. Dit volgt uit de volgende stappen, waarin achtereenvolgens de definitie van de som van twee functies, een rekenregel voor limieten, de continuïteit van #f# en #g# in #a# en weer de definitie van de som van twee functies gebruikt is.

\[\begin{array}{rcl}\lim_{x\to a} (f+g)(x) &=& \lim_{x\to a} (f(x)+g(x))\\ &=& \lim_{x\to a} f(x)+ \lim_{x\to a} g(x) \\ &=& f(a)+ g(a)\\ &=& (f+g)(a)\end{array}\]

De tweede uitspraak bewijzen we met behulp van Limieten van continue functies. We schrijven #b=f(a)#. Omdat #f# continu is in #a#, geldt #\lim_{x\to a}f(x) = b#. Volgens de aangegeven theorie volgt hieruit #\lim_{x\to a}g(f(x)) = g(b)#. Maar dit kan herschreven worden als #\lim_{x\to a}g\circ f(x) = g\circ f(a)#. Dit is de definitie van continuïteit van #g\circ f# in #a#.

Dit volgt uit de uitspraak: de functie #x^d# is continu op #\ivoo{0}{\infty}#.

Immers door regel 2, de continuïteit van de samenstelling van continue functies, toe te passen met #g(x)=x^d# volgt hieruit de oorspronkelijke uitspraak.

Voor een volledig bewijs moeten we nu dus nog de uitspraak dat #x^d# continu is, bewijzen. Dit doe we hier alleen voor het geval dat #d# rationaal is.

Wanneer #d# een geheel getal #n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}# is, dan volgt de uitspraak door toepassing van regel 1: het product van twee of meer continue functies is weer een continue functie is. De regel spreekt van het product van twee functies, maar door de regel herhaald toe te passen, zien we dat ze ook geldt voor producten van meer functies. Inderdaad kunnen we #x^n# schrijven als een product van continue functies op #\ivoo{0}{\infty}#:\[n\gt0:\qquad x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ termen}}\qquad n\lt0:\qquad x^n=\underbrace{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdots\frac{1}{x}}_{n\text{ termen}}\tiny.\]

Wanneer #d# de vorm #1/m# heeft voor een geheel getal #m\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}#, dan kunnen we #x^d# schrijven als #\sqrt[m]{x}#. Hiervan weten we dat ze continu is op #\ivoo{0}{\infty}#. Heeft #d# de vorm #n/m#, dan kunnen we regel 1 weer toepassen. Het is dan namelijk een product van wortelfuncties: \[\qquad x^{n/m}=\underbrace{\sqrt[m]{x}\cdot \sqrt[m]{x}\cdots \sqrt[m]{x}}_{n\text{ termen}}\qquad\tiny,\] dus ook continu op #\ivoo{0}{\infty}#.