Bewerkingen met functies: Inverse functies
Injectieve functies
Injectiviteit
Een reële functie #f# heet injectief als voor alle #x# en #y# in het domein van #f# met #f(x) = f(y)# geldt #x=y#.
In termen van grafieken: de functie #f# is injectief als er geen horizontale lijn is die de grafiek van #f# in twee of meer punten snijdt.
In plaats van injectief spreekt met ook wel van een-eenduidig.
Om een belangrijk soort injectieve functies aan te wijzen, hebben we de volgende definities nodig.
Monotone functies
Een reële functie #f# heet stijgend als voor alle #x# en #y# in het domein van #f# met #x\lt y# geldt #f(x) \lt f(y)#, en dalend als voor alle #x# en #y# in het domein van #f# met #x\lt y# geldt #f(x) \gt f(y)#.
Een functie die stijgend of dalend is, heet monotoon.
Wat hier stijgend, dalend of monotoon heet, wordt in de literatuur ook wel strikt stijgend, strikt dalend, of strikt monotoon genoemd.
Als de strikte ongelijkheden #\lt# en #\gt# in de definitie door de zwakke ongelijkheden #\le#, respectievelijk #\ge# vervangen worden, dan spreken we van zwak stijgend, zwak dalend, of zwak monotoon.
De relevantie van monotonie voor injectiviteit wordt duidelijk uit de volgende stelling
Injectiviteit voor monotone functies
Als #f# een monotone functie is, dan is #f# injectief.
We leveren het bewijs alleen voor het geval waarin #f# stijgend is. Het bewijs voor dalende functies gaat net zo.
Stel #x# en #y# zijn punten van het domein van #f# met #f(x)=f(y)#. Om vast te stellen dat #f# injectief is, moeten we hieruit #x=y# afleiden.
Als #x\ne y#, dan geldt #x\lt y# of #x\gt y#. Maar #f# is stijgend, dus in het eerste geval volgt #f(x)\lt f(y)# en in het twee geval #f(x)\gt f(y)#, beide in tegenspraak met #f(x)=f(y)#. We concluderen dat #x=y#, hetgeen bewezen moest worden om te laten zien dat #f# injectief is.
Dit blijkt uit onderstaande grafiek van de functie #f#:
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
