Exponentiële functies

Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen

Exponentiële functies

Exponentiële functies komen van nature voor in het echte leven. Beschouw bijvoorbeeld de groei van het aantal bacteriën die groeien in een kweekschaaltje waarin één bacterie zich elke minuut splitst in twee bacteriën. Als we beginnen met één bacterie, dan hebben we na één minuut twee bacteriën na 2 minuten 4 bacteriën, enzovoort:

Tijd (in minuten)	Aantal bacteriën
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32

Als \(x\) het aantal verstreken minuten is en \(y\) het aantal bacteriën, dan is de vergelijking ie deze groei beschrijft \[y=2^x\tiny.\] Het is duidelijk dat #y# een functie is van #x#. De grafiek van deze functie wordt hieronder weergegeven.

De functie \(2^x\) is een voorbeeld van een exponentiële functie:

Exponentiële functie

Als \(a\) een positief reëel getal is, dan wordt de functie \[f(x)= a^x\] een exponentiële functie genoemd met grondtaal \(a\). Het domein is #\mathbb{R}#.

De reden dat het grondtal \(a\) positief moet zijn, is gerelateerd aan het feit dat bij negatieve waarden van \(a\) de macht \(a^x\) niet altijd gedefinieerd is. Bijvoorbeeld als #a=-2# en #x=\frac{1}{2}#, dan is #a^x=(-2)^{\frac{1}{2}}# een getal dat gewadrateert moet worden tot de macht #-2#, maar dat kan geen reëel getal zijn.

Later zullen we zien dat de exponentiële functie #a^x# sneller stijgt dan alle machtsfuncties, indien #a\gt1# .

De functie \(f(x)=x^a\), "\(x\) tot de macht \(a\) verheffen", waarbij de onafhankelijke variabele het grontal \(x\) is, is een machtsfunctie, maar geen exponentiële functie.