Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide
Afgeleiden exponentiële functies en logaritmen herbekeken
Nu we kettingregel hebben behandeld, kunnen we opnieuw kijken naar de afgeleide van machtsfuncties.
Exponentiële regel voor differentiatie
Laat #a# een positief getal zijn.
De afgeleide van de functie #a^x# is #\ln(a)\cdot a^x#.
Omdat #a^x = \left({\e}^{\ln(a)}\right)^x = {\e}^{\ln(a)\cdot x} = \exp(\ln(a)\cdot x)#, vinden we met behulp van de kettingregel\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{{\dd}x}(a^x) &=&\exp'(\ln(a)\cdot x)\cdot \dfrac{\dd}{{\dd}x}(\ln(a)\cdot x)\\ &=& \exp(\ln(a)x)\cdot \ln(a)\\&=&\exp(\ln(a^x))\cdot \ln(a)\\ &=& a^x \cdot \ln(a)\,\tiny.\end{array}\]Dat bewijst de stelling.
Dezelfde regel kunnen we gebruiken om de afgeleide van de natuurlijke logaritme te bepalen.
Logaritmische regel voor differentiatie
Laat #a# een positief getal zijn dat ongelijk is aan #1#.
De afgeleide van de functie #\log_a(x)# is #\dfrac{1}{\ln(a)\cdot x}#.
In het bijzonder is de afgeleide van de functie #\ln(x)# gelijk aan #\dfrac{1}{x}#.
Bekijk eerste #f(x)=\ln(x)#. Dan geldt #\ee^{f(x)}=x#. Als we aan beide zijden van de vergelijking de afgeleide nemen en de kettingregel toepassen, dan krijgen we de volgende gelijkheid:
\[e^{f(x)} \cdot f'(x)=1\]
Aangezien #\ee^{f(x)}=x#, geeft dit #x\cdot f'(x)=1#, zodat #f'(x)=\frac{1}{x}#. Dit bewijst het speciale geval.]
Het algemene geval kan hier als volgt uit afgeleid worden:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\log_a(x)\right)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\ln(x)\right)\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\dfrac{1}{x}\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)\cdot x} \end{array}\]
We passen de exponentiële afgeleideregel toe met #a=5#: de afgeleide van de functie #f(t)= 5^t# is #f'(t)=\ln \left(5\right)\cdot 5^{t}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
