In contante waarde hebben we gekeken naar de contante waarde (CW) van een eindbedrag op een spaarrekening met samengestelde interest. We kunnen ook kijken naar de contante waarde van een situatie waarin elke tijdsperiode (bijvoorbeeld een jaar) een bedrag wordt betaald. Deze situatie komt vaak voor bij een schuld.
Een voorbeeld van een vraag naar de contante waarde is: "Stel dat gedurende #20# jaar op 30 december een bedrag van #\euro \, 1603.68# moet worden betaald om een schuld af te lossen. Bereken de hoogte van de schuld die moet worden afgelost uitgaande van een rentevergoeding van #2.5\%# per jaar."
De contante waarde bij een reeks betalingen met termijnbedrag #T# bij een groeivoet #i# en #n# termijnen is
\[CW=T \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\]
Er wordt #n# keer een bedrag #T# betaald. Zeg om een schuld af te lossen die aan het begin is aangegaan. Elke keer wordt een deel van de oorspronkelijke schuld afgelost en is de rest een betaling van interest. Als we beginnen met het aflossingsdeel van de schuld afkomstig van de eerste termijn en dan verder rekenen, vinden we dat de schuld, dat wil zeggen: de oorspronkelijke schuld, gelijk is aan
\[CW=T \cdot \frac{1}{1+i} + T \cdot \frac{1}{(1+i)^2} + \cdots + T \cdot \frac{1}{(1+i)^{n-1}} + T \cdot \frac{1}{(1+i)^n}\]
Dit herkennen we als een meetkundige rij. Hierbij is de eerste term gelijk aan #T \cdot \frac{1}{1+i}# en de reden is gelijk aan #\frac{1}{1+i}#.
(We kunnen ook de eerste term gelijk aan #T \cdot \frac{1}{(1+i)^n}# kiezen en de reden #1+i#. De berekening loopt dan iets anders, maar komt op hetzelfde eindresultaat uit.)
De formule voor de som #s_n# van de eerste #n# termen van een meetkundige rij #t# is gelijk aan
\[s_n =t_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1}\]
Hierin is #t_1# de eerste term. Deze is in dit geval gelijk aan #T \cdot \frac{1}{1+i}#. Verder is #r# de reden. Deze is in dit geval gelijk aan #\frac{1}{1+i}#. Tot slot is #n# het aantal termijnen en dat blijft in dit geval gelijk aan #n#.
\[CW = T \cdot \frac{1}{1+i} \cdot \frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^n-1}{\frac{1}{1+i}-1}\]
Dit kunnen we herschrijven. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}
CW &=&T \cdot \frac{1}{1+i} \cdot \frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^n-1}{\frac{1}{1+i}-1}\\ &=& T \cdot \frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^n-1}{1-(1+i)}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{ breuken met elkaar vermenigvuldigd}}\\
&=& T \cdot \frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^n-1}{-i}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{noemer vereenvoudigd}}\\
&=& T \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^n}{i}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{teller en noemer vermenigvuldigd met }-1}\\
&=& T \cdot \frac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel }\left(\frac{1}{x}\right)^a=x^{-a}}\\
\end{array}\]
De factor waarmee #T# vermenigvuldigd moet worden, wordt wel genoteerd met #a_{\left .n\right \rceil i}#. Dus \[a_{\left .n\right \rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\]
In het softwarepakket Excel wordt deze bij de financiële functies aangegeven met de afkorting HW (Huidige Waarde) of in de Engelse versie PV (Present Value)
Let op: in dit geval wordt er gekeken naar de situatie waarin de interestvergoedingen aan het einde van de periode uitgekeerd worden (of waarin de verschuldigde interest aan het einde van de periode betaald wordt). Dit noemen we postnumerando renten. Voor de berekening van rente maakt het verschil of de termijn aan het einde of het begin van een periode vervalt. We komen hier later op terug. Voorlopig kijken we alleen naar de situatie waarin de termijn aan het einde van de periode is.
Let op: dat alle tijdsperioden in de opgaven gelijk zijn. Dus als de termijnen jaarlijks zijn, moet de groeivoet ook in jaar zijn. Net als dat als de termijnen maandelijks zijn de groeivoet ook in maanden moet zijn.
We komen nog even terug op de vraag:
Stel dat gedurende #20# jaar op 30 december een bedrag van #\euro \, 1603.68# moet worden betaald om een schuld af te lossen. Bereken de hoogte van de schuld die moet worden afgelost uitgaande van een rentevergoeding van #2.5\%# per jaar.
De contante waarde is de som over alle periodes van de bijdragen aan de aflossing van de oorspronkelijke schuld per termijn #T#. In periode #k# is die bijdrage het bedrag #B_k# dat na #k# jaren tot de termijn #(1+i)^k\cdot B_k = T=1603.68# leidt. Dit betekent dat de bijdrage van de aflossing in periode #k# aan de aflossing van de oorspronkelijke schuld gelijk is aan #B_k= \frac{T}{(1+i)^k}= \frac{1603.68}{\left(\frac{1025}{1000}\right)^k}#. Dit is de contante waarde van de aflossing in periode #k#. De contante waarde is dus de som over #k=1,\ldots,20# van # {1603.68}\cdot {\left(\frac{1000}{1025}\right)^k}#. Volgens de formule is dit gelijk aan
\[CW =1603.68 \cdot \frac{1-\left(\frac{1000}{1025}\right)^{20}}{0.025}\approx 25000.03\]
We concluderen dat het, afgerond op hele euro's, om een schuld van #\euro \,25000# gaat.
We zullen nu naar een aantal voorbeelden kijken waarin de contante waarde berekend wordt.
Bereken de contante waarde van een schuld die bestaat uit #20# jaarlijkse termijnen van ieder #\euro \, 8200# op basis van gelijkblijvende interest van #2.9\%# per jaar. De eerste termijn moet worden voldaan over precies één jaar.
De contante waarde is: #\euro# #123130.88#
De formule om de contante waarde te berekenen is: \[CW = T \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\]
Hier is
- #T# het termijnbedrag: #T=8200#
- #n# het aantal termijnen dat betaald moet worden: #n=20#
- #i# de groeivoet: #i=\frac{2.9}{100}=0.029#
Dit geeft
\[CW=8200 \cdot \frac{1-(1+0.029)^{-20}}{0.029}\approx 123130.88\]
Contante waarde bij periodieke inleg
