In de theorie Eindwaarde zonder bijstorting hebben we gezien dat als een startkapitaal #S_0# op een bankrekening met een samengesteld interestpercentage #p\%# gestort wordt, de eindwaarde #S(n)# na #n# tijdseenheden (bijvoorbeeld jaren) gelijk is aan: \[ S(n)=S_0\cdot\left(1+i\right)^n\]
Hierbij is #S_0# het startkapitaal en #i# de groeivoet behorende bij het interestpercentage #p\%#. De groeivoet wordt berekend door het interestpercentage door #100# te delen.
Naast het jarenlang sparen van een bedrag zonder bijstorting is het ook mogelijk om te sparen door elke tijdseenheid (bijvoorbeeld jaar of maand) een vast bedrag op een rekening met samengestelde interest te storten. De onderstaande stelling zegt hoe de eindwaarde direct na de laatste storting bepaald kan worden.
Als jaarlijks een vast bedrag #T# op een spaarrekening gestort wordt op basis van samengestelde interest #p\%#, dan is de eindwaarde #S_n# direct na de #n#-de storting gelijk aan
\[S_n=T \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}\]
Hierbij is #i=\frac{p}{100}#, de groeivoet behorende bij het jaarlijkse interestpercentage #p\%#.
Als we #T# euro storten op een spaarrekening, vermenigvuldigen we dat voor elk jaar dat het op een spaarrekening staat met de groeifactor #g=i+1#. De eerste storting staat #n-1# jaar op de rekening en is dus aan het einde van de looptijd gelijk aan #T \cdot g^{n-1}#. (Omdat #S_n# direct na de laatste storting bekeken wordt, is er sprake van #n-1# jaren en niet van #n#.) De tweede storting staat #n-2# jaar op de rekening en is dus aan het einde van de looptijd gelijk aan #T \cdot g^{n-2}#. Zo gaan we verder tot de laatste storting, die aangezien er direct na de storting gekeken wordt, gelijk is aan #T#.
We kunnen de eindwaarde na de #n#-de storting dus schrijven als:
\[S_n = T \cdot g^{n-1} + T \cdot g^{n-2} + \cdots+ T \cdot g + T\]
Hierin herkennen we een meetkundige rij met #n# termen, aanvangsterm #t_1=T# en reden #r=g=i+1#. (Je kunt ook #T \cdot g^{n-1}# als eerste term nemen en dan #g^{-1}# als reden, maar dat maakt de berekening lastiger.)
Met behulp van de somformule #t_1 \cdot \frac{r^{n}-1}{r-1}# voor de som van de eerste #n# termen van een meetkundige rij #t# kunnen we nu de eindwaarde berekenen:
\[\begin{array}{rcl}S_n&=&T \cdot \dfrac{(i+1)^{n}-1}{(i+1)-1}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{t_1=T,\ r=i+1\text{ ingevuld}}\\ &=&T \cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{i}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
De factor #\frac{(1+i)^n-1}{i}#, waarmee #T# vermenigvuldigd moet worden, wordt wel genoteerd met #s_{\left .n\right \rceil i}#.
In het softwarepakket Excel wordt deze bij de financiële functies aangegeven met de afkorting TW (Toekomstige Waarde) of in de Engelse versie FV (Future Value).
Let op: in dit geval wordt er gekeken direct na de laatste storting. De storting is dus aan het einde van de periode. Dit noemen we postnumerando renten. Voor de berekening maakt het verschil of de storting aan het einde of het begin van een periode is. We komen hier later op terug. Voorlopig kijken we alleen naar de situatie waarin de storting aan het einde van de periode is.
In de stelling is de storting jaarlijks, maar de stelling werkt ook als de storting maandelijks of een andere vaste periode is. In dat geval is #n# de looptijd in maanden en moet het jaarlijkse percentage omgerekend worden naar het bijbehorende maandelijkse percentage. Zie daarvoor de theoriepagina Gelijkwaardige percentages.
Vaak zijn we geïnteresseerd in het eindbedrag aan het eind van het laatste jaar, in plaats van direct na de laatste inleg. Voor dit bedrag luidt de formule \[(1+i)\cdot S_n\]
In de laatste periode komt er immers alleen nog #p\%# interest bij.
Deze benadering wordt prenumerando genoemd en komt later aan bod.
We zullen nu aan de hand van enkele voorbeelden zien hoe deze theorie in de praktijk gebruikt wordt.
Iemand wil ter aanvulling van haar pensioen jaarlijks een bedrag van #\euro \, 3000# inleggen op een spaarrekening waarop een vaste interestvergoeding van #1.05\%# van toepassing is. Bereken het saldo op deze rekening zoals dat zal zijn na de #35#ste inleg.
Geef je antwoord in #2# decimalen nauwkeurig.
Eindwaarde direct na #35#ste storting: #\euro \,## 126101.59#
Immers, we berekenen de eindwaarde #S_n# van een spaarrekening met inleg direct na de #n#de storting met de formule: \[S_n=T \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}\]
Hierin is #T=3000#, het bedrag van de stortingen. Verder is de looptijd, oftewel het aantal stortingen dat gedaan wordt, gelijk aan #n=35#. Tot slot is de groeivoet gelijk aan #i=\frac{1.05}{100}=0.0105#.
Dus de eindwaarde direct na de #35#ste inleg is na
afronding op twee decimalen (zoals gebruikelijk bij geldbedragen in deze cursus) gelijk aan:
\[S_n=3000 \cdot \frac{(1+0.0105)^{35}-1}{0.0105}\approx 126101.59\]
Eindwaarde bij periodieke inleg
