We zullen nu naar de meetkundige rij kijken.
Een meetkundige rij is een rij waarin iedere term ontstaat door de voorgaande term met een vast getal te vermenigvuldigen.
Dat vaste getal wordt de reden genoemd. Het wordt vaak aangeven met #r#.
Dus voor elke #n# groter dan #1# geldt: #t_n=r \cdot t_{n-1}#.
De termen in de rij groeien dus exponentieel als #r>1#.
Als #0<r<1# neemt de rij exponentieel af.
Geef de aanvangsterm #t_1#, de reden #r# en het aantal termen #n# van de onderstaande rij #t#.
\[5, 15, 45, 135, \ldots, 10935, 32805\]
#t_1=5#
#r=3#
#n=9#
De aanvangsterm is de eerste term en deze is gelijk aan #5#. Dus #t_1=5#.
Om de reden te berekenen, delen we twee opeenvolgende termen door elkaar: #\frac{15}{5}=3# (let op: we delen de tweede term #t_2# door de eerste #t_1# en niet andersom). We zien dat bij de andere opeenvolgende termen deze reden ook klopt. Dus is het een meetkundige rij. In dit geval geldt #r=3#.
Aangezien de rij begint bij #5# en eindigt bij #32805#, waarbij elke keer vermenigvuldigd wordt met #3#, heeft deze rij #9# termen. Dus #n=9#.
Elke rij die zowel rekenkundig als meetkundig is, is constant.
Dit is als volgt in te zien door gebruik te maken van de eerste drie termen #t_1#, #t_2#, #t_3# van de rij:
- Omdat de rij rekenkundig is, is er een verschil #v#, zodat #t_2=t_1+v# en #t_3=t_1+2v#.
- Omdat de rij meetkundig is, is er een reden #r#, zodat #t_2= t_1\cdot r# en #t_3=t_1\cdot r^2#.
Vergelijken we de twee uitdrukkingen voor #t_2# en vervolgens de twee uitdrukkingen voor #t_3#, dan vinden we, na alle termen met #t_1# naar links te brengen en alle termen zonder #t_1# naar rechts, het stelsel vergelijkingen
\[\eqs{t_1\cdot(r-1) &=& v\\ t_1\cdot(r^2-1) &=& 2 v}\]
Na vermenigvuldiging van beide leden van de eerste vergelijking met #(r+1)#, staat links hetzelfde in beide vergelijkingen, zodat gelijkstellen van de rechter leden leidt tot
\[(r+1)\cdot v = 2v\]
Dus #v=0# of #r=1#. In beide gevallen is de rij constant.
De formule in de definitie om de #n#-de term te vinden, noemen we een recursieve formule omdat de vorige term nodig is. We kunnen ook een directe formule opstellen. Dat is een formule om de #n#-de term te berekenen aan de hand van het rangnummer en de reden. Hierbij is de vorige term niet nodig.
De directe formule om de #n#-de term van een meetkundige rij #t_1, t_2, \ldots# te berekenen, is: \[t_n=t_1\cdot r^{n-1}\] waarbij #r# de reden is.
In het algemeen kunnen de termen van een meetkundige rij als volgt geschreven worden:
\[\begin{array}{lcl}
t_1&=&t_1 \\
t_2=t_1 \cdot r&=&t_1 \cdot r\\
t_3=t_2 \cdot r = t_1\cdot r \cdot r &=&t_1 \cdot r^2\\
t_4=t_3 \cdot r=t_1 \cdot r^2 \cdot r &=&t_1 \cdot r^3\\
\vdots \phantom{=t_2 \cdot r = t_1xx} &&\vdots\\
t_{20}=t_{19} \cdot r&=&t_1 \cdot r^{19}\\ \vdots \phantom{=t_2 \cdot r = t_1xx} &&\vdots
\end{array}\]
Dit leidt tot de directe formule: \[t_n=t_1\cdot r^{n-1}\]
In dit geval begint de rij bij #t_1#. We kunnen de rij ook bij #t_0# laten beginnen. In dat geval is de directe formule gelijk aan: \[t_n=t_0\cdot r^n\]
Dit volgt uit de gegeven formule, omdat er nu #n+1# termen zijn en de aanvangsterm #t_0# is.
Merk op dat, als in de directe formule voor de term met rangnummer #n# van een rekenkundige rij optellen wordt vervangen door vermenigvuldigen en vermenigvuldigen door machtsverheffen, de directe formule ontstaat voor de term met rangnummer #n# van een meetkundige rij.
Met andere woorden: de logaritme van de #n#-de term van een meetkundige rij is de #n#-de term van een rekenkundige rij. Daarbij wordt het verschil van de rekenkundige rij gelijk aan de logaritme van de reden.
Hieronder staat een aantal voorbeelden die aangeven hoe we de directe formule kunnen opstellen en hoe we deze kunnen gebruiken om een term te berekenen.
Welke directe formule hoort bij onderstaande meetkundige rij?\[a_1=7,\quad a_2=14{,}\quad a_3=28{,}\quad a_4=56{,}\quad\ldots\]
#a_k=# #7\cdot 2^{k-1}#
Gegeven is dat #a_k# een meetkundige rij is. Dat betekent dat de directe formule gelijk is aan #a_k=a_1 \cdot r^{k-1}#, waarbij #r# de reden is. We moeten dus #a_1# en de reden bepalen.
- De aanvangsterm #a_1# is gegeven en is gelijk aan #7#.
- De reden is gelijk aan #r=\frac{14}{7}=2#.
Bijgevolg geeft de directe formule \[a_k=7\cdot 2^{k-1}\]
Meetkundige rijen
