In sommige situaties is het noodzakelijk om van de macht terug te rekenen naar de exponent. Op dit moment hebben we daar geen bewerking voor. Daarom voeren we een nieuwe bewerking in. Deze nieuwe bewerking is de 'terugreken' functie van een exponentiële functie #a^x#. In het algemeen heet zo'n terugrekenfunctie een inverse functie.
Laat #a\gt0# en #a\ne 1#. Dan is #\log_a(x) # het reële getal #y# gedefinieerd door de eigenschap #a^y=x#.
Het getal #\log_a(x)# heet de logaritme van #x# met grondtal #a#. Dit spreken we uit als 'a log x'.
De logaritme #\log_a(x)# is inderdaad de functie die de exponent aangeeft van een getal #x# dat geschreven wordt als een macht van #a#. Kijk maar naar de onderstaande voorbeelden.
- #\log_2(8)=3#, want #2^3=8#
- #\log_{16}(4)=\frac{1}{2}#, want #16^{\frac{1}{2}}=4#
- #\log_2(32)=5#, want #2^5=32#
- #\log_{\frac{1}{2}}(64)=-6#, want #\left(\frac{1}{2}\right)^{-6}=64#
In Nederlandse teksten wordt vaak #{}^a\log(x)# geschreven in plaats van #\log_a(x)#.
Wij gebruiken #\log(x)# soms als afkorting voor #\log_{10}(x)#.
Anderen gebruiken het wel als afkorting van #\log_{\ee}(x)#, waarbij #\ee\approx 2.71828#, het getal van Euler, is. Hiervoor reserveren wij echter de notatie #\ln(x)#, waarbij het symbool 'ln' staat voor de natuurlijke logaritme. We zullen de natuurlijke logaritme en het getal van Euler in dit hoofdstuk verder niet echt gebruiken.
Als #y\le0#, dan is er geen waarde van #x#, zodat #a^x = y#. Daarom is #\log_a(x)# alleen gedefinieerd als #x\gt0#.
Als #a=1#, dan ook #a^y=1#. Het getal #y# met #a^y=x# bestaat niet als #x\ne1# en is niet uniek vastgelegd door de gelijkheid als #x=1#.
Als #f(x)# een functie is met de eigenschap dat er voor elke #y# hooguit één waarde #x# is met #f(x) =y#, dan is de functie #g(x)# met de eigenschap dat #y=g(x)# voldoet aan #f(y) = x# de inverse functie van #f(x)#.
Bij de logaritme bekijken we #f(x) =a^x#, de macht van #a# met exponent #x#, en is de inverse functie #g(x) = \log_a(x)#.
Hieronder vinden we twee belangrijke eigenschappen van de logaritmen, die moeten gelden om #\log_a(x)# de 'terugreken' functie, oftewel de inverse functie, van de exponentiële functie #a^x# te laten zijn.
Laat #a\gt0# en #a\ne1#. De logaritme #\log_a(x)# is de inverse functie van de exponentiële functie #a^x#. In het bijzonder geldt:
- #\log_a(a^x) = x# voor alle #x#.
- #a^{\log_a(x)} = x# voor alle #x\gt 0#.
We leiden de twee regels af.
1. #\log_a(a^x) = x# voor alle #x#. Volgens de definitie geldt: #\log_a(x)=y# dan en slechts dan als #x=a^y#. Als we #x# door #a^y# vervangen in deze uitdrukking, dan staat er: #\log_a(a^y)=y# dan en slechts dan als #a^y=a^y#. Omdat de rechter gelijkheid altijd waar is, geldt hetzelfde voor de linker gelijkheid: #\log_a(a^y)=y#. Als we #y# door #x# vervangen in deze uitdrukking, dan ontstaat de te bewijzen formule: #\log_a(a^x)=x#.
2. #a^{\log_a(x)} = x# voor alle #x\gt 0#. Volgens de definitie geldt: #\log_a(x)=y# dan en slechts dan als #x=a^y#. Als we #y# door #\log_a(x)# vervangen in deze uitdrukking, dan staat er: #\log_a(x)=\log_a(x)# dan en slechts dan als #x=a^{\log_a(x)}#. Omdat de linker gelijkheid altijd waar is, geldt hetzelfde voor de rechter gelijkheid: #x=a^{\log_a(x)}#.
De tweede regel betekent dat #\log_a(x)# de inverse functie van #a^x# is. De eerste dat #a^x# de inverse functie van #\log_a(x)#. Dit is een bekende eigenschap: als #g(x)# de inverse functie van #f(x)# is, dan is #f(x)# de inverse functie van #g(x)#.
Hieronder staat de grafiek van de functie #\log_a(x)#. De waarden van #a# kunnen door middel van een slider gevarieerd worden.
Door de slider te variëren en de grafieken te bestuderen, zie je in dat onderstaand resultaat geldt.
Als #a\gt1#, dan is #\log_a(x)# stijgend, en als #0\lt a\lt1#, dalend.
- #\log_7(7^2) = 2\lt 3 = \log_7(7^3)#
- #\log_{\frac{1}{7}}(7^2) =- 2\gt -3 = \log_{\frac{1}{7}}(7^3)#
Stel #x# en #y# zijn getallen met #0\lt x\lt y#. Volgens bovenstaande stelling zijn #\log_a(x)# en #\log_a(y)# getallen met #{\log_a(a^x)} = x# en #{\log_a(a^y)} = y#. Er geldt dus #x\lt y# dan en slechts dan als #{\log_a(a^x)}\lt {\log_a(a^y)} #.
Stel eerst #a\gt 1#. Van machtsverheffing weten we dat #x\lt y# dan en slechts dan als #a^x\lt a^y#. Met het oog op de equivalentie hierboven, zien we dat #{\log_a(a^x)}\lt {\log_a(a^y)} # dan en slechts dan als #a^x\lt a^y#. Vervangen we hier #a^x# door #x# en #a^y# door #y#, dan vinden we: #{\log_a(x)}\lt {\log_a(y)} # dan en slechts dan als #x\lt y#. Dit betekent dat #\log_a(x)# stijgend is.
Stel nu dat #0\lt a\lt 1#. Van machtsverheffing weten we dat #x\lt y# dan en slechts dan als #a^x\gt a^y#. Met het oog op de eerste equivalentie in dit bewijs, zien we dat #{\log_a(a^x)}\lt {\log_a(a^y)}# dan en slechts dan als #a^x\gt a^y#. Vervangen we hier #a^x# door #x# en #a^y# door #y#, dan vinden we: #{\log_a(x)}\lt {\log_a(y)} # dan en slechts dan als #x\gt y#. Dit betekent dat #\log_a(x)# dalend is.
Schrijf #\log_{4}\left(64\right)# als een exact getal zonder logaritmen.
#\log_{4}\left(64\right)=# #3#
Het antwoord volgt uit #64=4^{3}# en de regel #\log_a(a^x)=x#:\[\log_{4}\left(64\right)=\log_{4}\left(4^{3}\right)=3\]
Het begrip logaritme
