Het begrip exponentiële functie

Exponentiële en logaritmische groei: Exponentiële groei

Het begrip exponentiële functie

Celdeling bij de vorming van een embryo is een voorbeeld van zich herhalende verdubbeling. Het aantal cellen in de embryo gaat van \(1\) naar \(2\) naar \(4\) naar \(8\) en zo verder. Een formule voor het aantal cellen in de embryo na een zeker aantal celdelingen \(x\) is daarom gelijk aan \(2^x\).

Dit is een voorbeeld van een vermenigvuldiging met een vaste factor, in dit geval \(2\).

Expon‌entiële fu‌nctie

Laat #g# een positief reëel getal zijn. De functie

\[f(x) = g^x\] heet de ex‌ponentiële functie met grondtal of groeifactor \(g\).

Het argument #x# van deze functie wordt ook wel exponent genoemd. Het is immers de exponent van de machtsverheffing met grondtal #g#.

De functiewaarde is soms exact, maar altijd bij benadering te berekenen:

\(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\) is een exacte berekening van de waarde van de exponentiële functie #4^x# in #-2#.
\(1.3^\frac{1}{2} = \sqrt{1.3}\) is een exacte berekening van de waarde van de exponentiële functie #1.3^x# voor #x=\frac{1}{2}#.
\(10^{5.7} = 10^5 \cdot 10^{0.7} \approx 5.01 \cdot 10^5\) is een benadering van de waarde van de exponentiële functie met grondtal #10# in #5.7#.

In de introductie is \(x\) het aantal cellen in een embryo en daarom altijd een positief geheel getal. In het algemeen kan \(x\) alle mogelijk reële waarden aannemen. Met andere woorden: de exponentiële functie is gedefinieerd op de hele reële lijn.

Anders dan bij een machtsfunctie zoals \(x^3\) staat bij een exponentiële functie het argument (de variabele #x#) in de exponent: \(3^x\). Vandaar de naam exponentiële functie.

Wiskundigen spreken vaak over #g# als het grondtal van de exponentiële functie #g^x#. In de financiële rekenkunde is de naam groeifactor meer gebruikelijk.

De groeifactor is de relatieve toename van de functiewaarde per eenheid toename van \(x\): iedere keer dat \(x\) toeneemt met \(1\) wordt de functiewaarde nogmaals vermenigvuldigd met de groeifactor.

Monotonie van de exponentiële functie

De exponentiële functie \(f(x) = g^x\) neemt af als \(0\lt g\lt 1\) en neemt toe als \(g\gt 1\).

Stel \(0\lt g\lt 1\). We gebruiken het feit dat #g^a\gt1# voor #a\lt0#. Als #x# en #y# reële getallen zijn met #x\lt y#, dan is #x-y# negatief, zodat #g^{x-y}\gt 1#. Vermenigvuldiging van beide kanten met het positieve getal #g^y# geeft #g^{x}\gt g^y#. Met andere woorden, als de waarde van #x# groter wordt (zoals #y#), dan wordt de waarde van #g^x# kleiner. Dit laat zien dat de exponentiële functie \(f(x) = g^x\) afneemt als \(0\lt g\lt 1\).

Stel \(g\gt 1\). We gebruiken het feit dat #g^a\gt1# voor #a\gt0#. Als #x# en #y# reële getallen zijn met #x\lt y#, dan is #y-x# positief, zodat #g^{y-x}\gt 1#. Vermenigvuldiging van beide kanten met het positieve getal #g^x# geeft #g^{y}\gt g^x#. Met andere woorden, als de waarde van #x# groter wordt (zoals #y#), dan wordt de waarde van #g^x# groter. Dit laat zien dat de exponentiële functie \(f(x) = g^x\) toeneemt als \(g\gt 1\).

Iedere exponentiële functie met \(g \gt0\) en \(g\neq 1\) heeft een horizontale asymptoot, \(y = 0\). Dit betekent hier dat de functiewaarde nooit onder \(0\) komt, maar er wel willekeurig dicht bij (als je #x# maar voldoende ver weg van #0# en negatief kiest in het geval #g\gt1# en als je #x# maar groot genoeg maakt in het geval #0\lt g\lt1#).

Het geval #g=1# is uitgezonderd; dan is #g^x# gelijk aan de constante functie #1#. Met andere woorden: de functiewaarde is altijd gelijk aan #1#.

Voor de exponentiële functie met groeifactor \(3\) geldt de formule \(f(x) = 3^x\).

De tabel laat zien hoe snel de functiewaarde toeneemt:

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)	\(\frac{1}{3}\)	\(1\)	\(3\)	\(9\)	\(27\)	\(81\)

Je ziet iedere keer (dat wil zeggen: bij stapgrootte #1# voor #x#) een verdrievoudiging van de functiewaarde:

\[f(x+1) = 3^{x+1} = 3\cdot 3^x = 3\cdot f(x)\]

Als \(x\) met \(1\) toeneemt, neemt \(f(x)\) met \(2\cdot f(x)\) toe.

Je kunt de snelle toe- en afname ook zien in onderstaande grafiek van \(g^x\): met de slider kun je de waarde van groeifactor \(g\) zelf wijzigen. Kijk ook even wat er gebeurt als \(g=1\) en als \(g\lt 1\).