Basisvaardigheden algebra: Kwadratische functies
De abc-formule
We hebben gezien hoe we een kwadratische vergelijking snel op kunnen lossen met ontbinding in factoren. Echter, niet elke vergelijking is op te lossen met ontbinding in factoren (tenminste, zonder wortels te trekken). Daarom zullen we in deze paragraaf kijken naar een algemene oplosmethode die altijd werkt, namelijk de abc-formule.
Kwadraatsafsplitsen
Een kwadratische veelterm in #x# is zó op te schrijven dat de variabele #x# maar één keer voorkomt:
\[ax^2+bx+c = a\cdot\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4a\cdot c}{(2a)^2}\right)\tiny.\] Deze herschrijving heet kwadraatafsplitsen.
Dit is in te zien door de haakjes uit het rechter lid weg te werken.
Enkele voorbeelden:
\[\begin{array}{rcl}x^2+x+1&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\\ x^2+2x+1&=&\left(x+1\right)^2\\ 2x^2+x+1&=&2\cdot\left(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}\right)\\ x^2+x+2&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\\ x^2+3x+2&=& \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} \end{array}\]
We gebruiken deze splitsing om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Discriminant en abc-formule
Laat #a#, #b#, #c# reële getallen zijn met #a\ne0#. De vergelijking #ax^2+bx+c=0# kan herleid worden tot
\[x=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}\]
De uitdrukking #b^2-4a\cdot c# noemen we de discriminant van #a\cdot x^2+b\cdot x+c#; we duiden die vaak aan met #D#.
Met deze notatie geldt\[x=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}\]
- Als #D\lt 0#, dan zijn er geen oplossingen.
- Als #D= 0#, dan is er dus maar één oplossing: #x=\dfrac{-b}{2a}#.
- Als #D\gt 0#, dan zijn er twee oplossingen.
Bovenstaande noemen we ook wel de abc-formule. Met deze formule is elke kwadratische vergelijking op te lossen.
De abc-formule gebruiken we om de snijpunten van een parabool met de #x#-as te bepalen. Wat betekent dit voor de drie gevallen die we net hebben gezien? We bekijken nu steeds het geval waarin #a\gt0# (dan is de grafiek een dalparabool). Als #a\lt0#, dan krijg je hetzelfde beeld als hieronder door het linker lid #ax^2+bx+c# met #-1# te vermenigvuldigen (met andere woorden: door de grafiek te spiegelen om de #x#-as).
Als #D\gt0#, dan wordt de wortel getrokken uit een positief getal, zodat de vergelijking #a\cdot x^2+b\cdot x+c=0# twee verschillende oplossingen heeft. De parabool, dat wil zeggen: de grafiek van #a\cdot x^2+b\cdot x+c#, heeft #2# snijpunten heeft met de #x#-as.
Als #D\lt0#, dan zijn er geen oplossingen, omdat worteltrekken uit een negatief getal geen reëel getal oplevert. De parabool heeft dan geen snijpunten met de #x#-as.
Als #D= 0#, dan zijn beide oplossingen gelijk en is er dus maar één oplossing: #x=\dfrac{-b}{2a}#. Hier raakt de parabool de #x#-as.
We zullen nu naar enkele voorbeelden kijken waarin kwadratische vergelijkingen met behulp van de abc-formule worden opgelost en waar met behulp van de discriminant bepaald wordt hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft.
Om dit in te zien maken we gebruik van de abc-formule \[x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a'}\lor x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a'}\] met discriminant #D=b^2-4a'\cdot c#, waarbij #a'=2#, #b=5# en #c=3# (we hebben de parameter #a# in de abc-formule een accent gegeven ter onderscheiding van de onbekende #a# in de vergelijking): \[\begin{array}{rcl}
D&=&5^2-4\cdot 2\cdot 3=1\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{discriminant berekend}}\\
x=\frac{-5-\sqrt{1}}{4}&\lor&x=\frac{-5+\sqrt{1}}{4}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{abc-formule gebruikt}}\\
x=-{{3}\over{2}}&\lor&x=-1\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oplossing vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]
De grafiek van de functie # 2\cdot x^2+5\cdot x+3# is hieronder getekend. De #x#-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de #x#-as zijn de oplossingen van de vergelijking.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
