We bespreken het begrip deelverzameling. Dit zijn verzamelingen die deel uitmaken van een andere verzameling.
Zij #\blue A# en #\green B# verzamelingen.
We zeggen dat een verzameling #\blue A# een deelverzameling is van #\green B# als elk element van #\blue A# ook een element is van #\green B#.
We geven dit aan met #\blue A\subseteq \green B# of #\green B \supseteq \blue A#.
Voorbeelden
Zij #\blue A = \{1, 4, 6\}# en #\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}#.
Omdat #1\in\green B#, #4\in\green B# en #6\in\green B#, hebben we #\blue A \subseteq \green B#.
De verzameling #\orange C# is geen deelverzameling van #\green B# als ten minste een element uit #\orange C# geen element is van #\green B# .
We geven dit aan met #\orange C \not \subseteq \green B#.
Daarnaast zij#\orange C = \{2.5, \pi, 5\}#.
Het element #2.5# van #C# behoort niet tot #\green B # (en hetzelfde geldt voor #\pi# ). Daarom #\orange C \not \subseteq \green B#.
Als #\blue A# een deelverzameling is van de verzameling #\green B#, dan kunnen we ook zeggen dat #\blue A# is opgenomen in #\green B# en dat #\green B# #\blue A# omvat. Het symbool #\subseteq# wordt ook wel integratie genoemd.
Deelverzamelingen kunnen ook worden weergegeven in een Venn diagram als een ovaal binnen een ovaal.
Zij #\blue A# en #\green B# verzamelingen.
Als #\blue A \subseteq \green B#, dan is deze omvatting zichtbaar gemaakt door het tekenen van de ovaal die overeenkomt met #\blue A# in de ovaal die overeenkomt met #\green B#.
Als #\orange C \not\subseteq \green B#, dan wordt dit gevisualiseerd door ervoor te zorgen dat de ovaal die overeenkomt met #\orange C# niet in de ovaal ligt die overeenkomt met #\green B#. De elementen in #\orange C# die niet in #\green B# zitten worden getekend als punten binnen de ovaal van #\orange C# en buiten de ovaal #\green B#.
Voorbeeld
Zoals eerder, nemen we #\blue A = \{1, 4, 6\}#, #\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}# en #\orange C = \{2.5, \pi, 5\}#. In de Venn-diagram, zien we dat #\blue A \subseteq \green B# omdat de ovaal van #\blue A# in de ovaal van #\green B# ligt. Ook zien we dat #2.5# en #\pi# van #\orange C# niet in #\blue A# liggen en dus buiten de ovaal van #\blue A# liggen.
Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, omdat elk element van een verzameling #\blue A# natuurlijk een element is van #\blue A# zelf.
Als een verzameling #\blue A# een deelverzameling is van een verzameling #\green B# en niet gelijk is aan #\green B#, dan noemen we #\blue A# een echte deelverzameling van #\green B#. Dit wordt geschreven als #\blue A \subset \green B#. Het symbool #\subset# wordt aangeduid als een goede opname of een strikte integratie.
Voorbeeld
Beschouw de verzamelingen #\blue A = \{1, 4, 6\}# en #\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}#. We zien dat #\blue A \subset \green B#.
Bedenk dat twee verzamelingen #\blue A# en #\green B# gelijk zijn dan en slechts dan als elk element van #\blue A# een element van #\green B# is en omgekeerd elk element van #\green B# een element van #\blue A# is. Daarom #\blue A=\green B# dan en slechts dan als #\blue A \subseteq \green B# en #\green B\subseteq \blue A#.
Voorbeeld
Zij #\blue A# de verzameling #\{1, 2, 3\}# en #\green B# de verzameling #\{3, 2, 1\}#. Hier is #\blue A# gelijk aan #\green B#, omdat #\blue A \subseteq \green B# en #\green B \subseteq \blue A#.
Onder de speciale sets met cijfers, hebben we de insluitsels #{\mathbb N}\subseteq {\mathbb Z}#, #{\mathbb Z}\subseteq {\mathbb Q}# en #{\mathbb Q}\subseteq {\mathbb R}#.
De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.
Voor het bewijs van deze stelling, zij #\blue A# een willekeurige verzameling. We zullen nu laten zien dat #\emptyset\subseteq A#. Wij doen dit door te laten zien dat elk element van #\emptyset# ook een element is van #\blue A#. In de taal van de logica betekent dit \[a \in \emptyset \Rightarrow a \in \blue A\] en dit is altijd waar. Dit is triviaal omdat #a \in \emptyset# altijd onwaar is.
Een deelverzameling zijn van een verzameling is transitief in de zin dat we voor alle verzamelingen #\blue A#, #\green B# en #\orange C# hebben dat \[(\blue A \subseteq \green B\text{ and }\green B \subseteq \orange C)\ \Rightarrow\ \blue A \subseteq \orange C\]
Bijvoorbeeld, als #\blue A = \{1, 2, 3\}#, #\green B = \{1,2,3, 4\}# en #\orange C = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}#,
dan \(\blue A \subseteq \green B\) en \(\green B \subseteq \orange C\), dus #\blue A \subseteq \orange C#.
Beschouw de sets #A = \{ 3 , 6 , 20 \} # en #B = \{ 3 , 4 , 6 , 10 , 13 , 20 \} #, is het waar dat #A \subseteq B#?
Ja
Het is waar dat #A \subseteq B#. Omdat elk element van #A# ook een element is van #B#, dus #A = \{ 3 , 6 , 20 \} # is bevat in #B = \{ 3 , 4 , 6 , 10 , 13 , 20 \} #.
Deelverzamelingen
