In dit hoofdstuk worden de basisbegrippen van verzamelingenleer geïntroduceerd.
Een verzameling #\blue A# is een verzameling van afzonderlijke objecten, beschouwd als object op zichzelf. Een object kan alles zijn, van een getal tot een letter tot een combinatie van deze (of zelfs een verzameling). De afzonderlijke objecten in een verzameling worden de elementen van die verzameling genoemd.
Twee verzamelingen #\blue A# en #\green B# zijn gelijk (aangeduid met #\blue A=\green B# ) dan en slechts dan als ze dezelfde elementen hebben.
Als een verzameling #\blue A# een eindig aantal elementen heeft, dan noemen we het een eindige verzameling en duiden dit getal aan met #|\blue{A}|#. Anders noemen we het een oneindige verzameling en schrijven we #|\blue{A}| = \infty#. Het getal #|\blue{A}|# (eventueel oneindig) wordt de grootte van #\blue{A}# genoemd.
We maken gebruik van accolades om verzamelingen te beschrijven door middel van hun elementen. Hier volgen vier manieren om een verzameling (aangeduid met de afkorting verz) te beschrijven met een handelbaar aantal elementen (aangeduid met de afkorting #\text{obj}# voor object). \[\begin{array}{rcl}\text{verz}&=&\{\text{obj}_1, \text{obj}_2,\text{obj}_3\}\\
\text{verz}&=&\{\text{obj}_1, \text{obj}_2, \ldots,\text{obj}_n\}\\
\text{verz}&=&\{\text{obj}_1, \text{obj}_2, \ldots\}\\
\text{verz}&=&\{\ldots,\text{obj}_{-2}, \text{obj}_{-1},\text{obj}_0,\text{obj}_1, \text{obj}_2, \ldots\}\end{array}\]
Het eerste en tweede geval zijn voorbeelden van eindige verzamelingen met maximaal #3# en #n# elementen respectievelijk. De drie puntjes #{\ldots}# geven aan dat we nog steeds op een zelfde manier of met hetzelfde patroon verder gaan.
Voorbeelden
De verzameling #\blue A# van alle klinkers in het Nederlandse alfabet wordt aangegeven met #\blue A =\{\text{a}, \text{e}, \text{i}, \text{o}, \text{u}\}#.
De elementen van # \{1, 2, 3, 4\}# zijn #1#, #2#, #3# en #4#. Een ingewikkelder beschrijving van dezelfde verzameling is # \{1, 2, 2, 3, 4, 1\}#.
Dus # \{1, 2, 3, 4\}= \{1, 2, 2, 3, 4, 1\}#.
De grootte van #\blue {B} = \{ \text{apple}, \pi, 4, 7.5, \text{q}
\} # is #|\blue{B}|=5#.
De grootte van # \{2,4,6,8,\ldots\}# is oneindig.
De verzameling #\{3,9,27,81,\ldots,729\}# heeft grootte #6#.
De verzamelingen #\{4, 3, 2\}# en #\{2, 4, 3\}# vallen samen.
De verzameling van even gehele getallen is # \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}#
Hetzelfde object kan niet meerdere keren voorkomen in een verzameling, dus elk element is uniek. Dit betekent dat dubbele elementen tellen als één. Dus geldt #\{3,3,3\} = \{3\}#.
Hoewel de elementen tussen de accolades in een volgorde lijken te staan, is de volgorde niet relevant voor de verzameling. Dus geldt #\{1,2\} = \{2,1\}#.
Het kan helpen om een verzameling te visualiseren met behulp van een Venn diagram. Deze bestaat uit een ovaal die de verzameling weergeeft, waarvan de elementen worden weergegeven door puntjes in de ovaal.
Als de verzameling eindig is, zorgt dit voor een zeer nauwkeurige beschrijving van de verzameling.
Het Venn diagram hierna correspondeert met de verzameling #\blue A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}#.
Zoals we later zullen zien, zijn er meer manieren om verzamelingen te definiëren. Vaak maken ze gebruik van accolades " #\{# " en " #\}# ".
Dit is nodig omdat de huidige notatie met accolades enkel verzamelingen met een schappelijke grootte, dat wil zeggen, een eindige verzameling waarvan de elementen telbaar zijn, kan beschrijven. De verzameling reële getallen is een verzameling met ontelbare elementen: we kunnen ze niet weergeven als een opsomming #a_1,a_2,a_3,\ldots# voor elke keuze van elementen #a_i# met #i# in de natuurlijke getallen, omdat het er te veel zijn.
Om de huidige beschrijving van een verzameling te onderscheiden van anderen, zullen we de manier waarop verzamelingen hier worden beschreven opsomming noemen.
Verzamelingen worden vaak aangeduid met een hoofdletter. Vaak wordt een element van de verzameling aangeduid met een kleine letter.
Twee verzamelingen #\blue A# en #\green B# zijn gelijk dan en slechts dan als
- elk element van #\blue A# een element van #\green B# is en, omgekeerd,
- elk element van #\green B# is een element van #\blue A#.
We schrijven dit als #\blue A = \green B#.
Bijvoorbeeld, als #\blue A =\left\{\frac{1}{2}, 2, 3\right\}# en #\green B=\left\{2,3, 2, \frac{2}{4}\right\}#, dan #\blue A= \green B#.
Gelijkheid is (zoals het altijd zou moeten zijn) een equivalentie relatie . Dit betekent dat het voldoet aan de volgende drie eigenschappen voor alle verzamelingen #\blue A#, #\green B# en #\orange C#.
- #\blue A = \blue A#
- #\blue A = \green B# #\Rightarrow# #\green B = \blue A#
- #(\blue A = \green B# en #\green B = \orange C)# #\Rightarrow# #\blue A = \orange C#
Een verzameling gegeven door opsomming is niet te verwarren met een lijst. Een lijst is een rij van objecten, doorgaans tussen vierkante haken:
\[ \rv{a_1, a_2,\ldots }\quad \text{ of } \quad\rv{a_1,a_2,\ldots,a_n}
\]
waarbij #a_i# een willekeurig object is voor ieder natuurlijk getal #i#, waar #i# dient als index, en #n# de lengte van de lijst is (althans, in het laatste geval, in het eerste geval zeggen we dat de lijst een oneindige lengte heeft). Hier zijn de elementen #a_i# van de lijst gerangschikt en kunnen veelvouden optreden. Als de accolades van een verzameling zouden worden vervangen door vierkante haken, dan zouden we te maken hebben met lijsten:
\[ \{1,2\}=\{2,1\}\quad \text{ en } \quad\{3,3,3\}= \{3\}\\ \text{ maar } \\
\rv{1,2}\ne\rv{2,1}\quad \text{ en } \quad\rv{3,3,3}\ne \rv{3}\]
Later , zullen we omgaan met verzameling waarvan de elementen lijsten zijn van een bepaalde lengte.
We zullen veel werken met de volgende verzamelingen, die zo bijzonder zijn dat ze worden aangeduid met algemeen aanvaarde symbolen.
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{N} &=& \text{de verzameling van alle natuurlijke getallen} \\
&=& \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\\
\mathbb{Z} & = & \text{de verzameling van alle gehele getallen} \\
&=& \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\\
\mathbb{Q} &=& \text{de verzameling van alle rationele getallen } \\
&=& \text{de verzameling met element in de vorm }\frac{a}{b}\text{ voor gehele getallen } a,b \text { met } b\gt 0\\
\mathbb{R} & = & \text{ de verzameling van reële getallen} \\
&=& \text{alle getallen op de getallenlijn } (\text{zonder } \infty \text{ en } -\infty) \\
\emptyset &=&\text{de lege verzameling} = \{\}\end{array}\]
In de wiskundige literatuur, wordt het symbool #\mathbb{N}# soms ook gebruikt om de verzameling #\{0,1,2,\ldots\}# aan te duiden. In deze cursus zullen we niet verwijzen naar #0# als een natuurlijk getal.
Hiervoor hebben we gezegd dat de verzameling van reële getallen niet kan worden weergegeven als een opsomming. In tegenstelling is de verzameling #{\mathbb Q}# wel telbaar en kan dus worden weergegeven met een opsomming met puntjes. Hier is een voorbeeld van hoe dit kan worden gedaan. \[\mathbb{Q} = \left\{0,1,-1,2,-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},3,-3,\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3},4,-4\ldots \right\} \] Voor het scheiden van positieve en negatieve getallen, vinden we een andere manier waarbij twee reeksen van puntjes #(\ldots)# worden gebruikt:
\[\mathbb{Q} = \left\{\ldots, -4,-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-3,-\frac{1}{2},-2,-1,0,1,2,\frac{1}{2},3,\frac{1}{3},\frac{2}{3},4,\ldots \right\} \]
Vanaf #4#, zal de expansie naar rechts
\[4,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},5,\ldots\] zijn. Door de gelijkheid #\frac{2}{4}= \frac{1}{2}# blijkt dat het element #\frac{2}{4}# in de opsomming overbodig is, maar gezien elk element maar één keer meetelt, maakt dit niet veel uit.
Elk natuurlijk getal is een geheel getal. Qua verzamelingen betekent dit dat elk element van #{\mathbb N}# ook een element is van # {\mathbb Z}#. Later zullen we dit uitdrukken in termen van de deelverzamelingen van een verzameling.
De verzameling #\emptyset# heeft helemaal geen elementen. Dit is de unieke verzameling van grootte #0#.
We hebben ook een speciaal symbool om uit te drukken dat een element lid is van een verzameling.
Het verzameling lidmaatschap symbool #\in# wordt gebruikt om te zeggen dat een object een element van een verzameling is. We gebruiken het symbool #\notin# om aan te geven dat het object niet een element van een verzameling is.
Zij #\blue A# een verzameling en #a# een object.
- We schrijven #a \in \blue A# als #a# een element is van #\blue A#.
- We schrijven #a \notin \blue A# als #a# niet een element is van #\blue A#.
Voorbeeld
Beschouw de verzameling #\blue A = \{2, 3, 4\}#.
De uitspraak dat #3# een element is van #\blue A# kan worden uitgedrukt als #3\in\blue A#.
De uitspraak dat #5# geen element is van #\blue A# kan worden uitgedrukt als #5\not\in\blue A#.
Er zijn meer manieren om uit te drukken dat #a# een element is van de verzameling #A#. We zeggen ook
- #a# behoort tot #A#, of
- #a# is lid van #A# of
- #a# is in #A#, of
- #a# ligt in #A#.
In dezelfde geest, kunnen we uitdrukken dat #b# niet behoort tot #A# door te zeggen:
- #b# behoort niet tot #A#, of
- #b# ligt buiten #A#, of
- #b# is niet in #A#, of
- #b# ligt niet in #A#.
Enkele voorbeelden van het gebruik van #\in# en #\notin#.
\[\begin{array}{clclclc} 3\in \mathbb{N}&& -3\in \mathbb{Z}&& \frac{1}{2}\in \mathbb{Q}&& \pi\in \mathbb{R}\\ 3\notin \emptyset&&-3\notin \mathbb{N}&&\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}& &\pi\notin \mathbb{Q}\end{array}\]
Herschrijf de verzameling #\{-4,20,-1,20,5,5,-1\}# zodat de elementen geordend zijn van klein naar groot en elk element maar één keer voorkomt.
#\left\{-4,-1,5,20\right\}#
Immers, #-1#, #5# en #20# komen dubbel voor, die kunnen we dus éénmaal weglaten. Dan blijven er vier elementen over; in volgorde van klein naar groot: #-4#, #-1#, #5#, #20#.
Het begrip verzameling
