Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking
Orde en graad van een GDV
We brengen in herinnering dat #y^{(n)}#, de #n#-de afgeleide van #y#, ook wel de afgeleide van orde #n# heet. De volgende twee termen, orde en graad, gebruiken we als maten voor de grootte van een differentiaalvergelijking.
Orde en graad van een GDV
De algemene vorm van een gewone differentiaalvergelijking voor een functie \(y\) van één variabele \(t\) op een zeker interval is \[ \varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0\] waarbij \(\varphi\) een functie van meerdere variabelen is.
- De orde van deze gewone differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide van \(y\) die in \(\varphi\) voorkomt.
- Als de functie \(\varphi\) een veeltermfunctie is in elk van de afgeleiden van #y#, dan is de graad van deze gewone differentiaalvergelijking gelijk aan de graad van \(\varphi\) als veelterm in de hoogste afgeleide.
Als er geen afgeleiden in de vergelijking voorkomen, dan is het een gewone vergelijking en spreken we af dat de orde #0# is.
In plaats van GDV van orde #n# spreken we ook van een #n#-de orde GDV.
Bij de bepaling van de graad van een GDV van orde #n# eisen we wel dat #\varphi(t,y,y',\ldots,y^{(n)})# een veelterm is in #y'# en in hogere afgeleiden, maar niet dat het een veelterm is in #y# of in #t#.
\[ y'''+3\cdot (y'')^2-7y'+x\cdot y = 0\]
De graad is #1#
De hoogste afgeleide van #y# die in de differentiaalvergelijking voorkomt, is #{y''' }#. (Deze is te vinden in de term #y''' #.) De orde is dus #3#.
De GDV is een veeltermvergelijking in de afgeleiden van #y#. De graad is dus gedefinieerd. De term met de hoogste graad van de GDV als veeltermvergelijking in de hoogste afgeleide #y''' # is #y''' #. De graad is dus #1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
