Differentiaalvergelijkingen: Stelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels van gekoppelde lineaire eerste-orde GDV's
Voor een korte blik op meerdere differentiaalvergelijkingen met meerdere onbekende functies bekijken we het volgende stelsel van gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen: \[\eqs{\dfrac{\dd x}{\dd t} &= &a\cdot x+ b\cdot y\cr \dfrac{\dd y}{\dd t} &=& c\cdot x + d\cdot y}\] waarbij #x# en #y# onbekende functies van #t# zijn, en #a#, #b#, #c#, #d# constanten. Dit stelsel kan opgelost worden met behulp van de theorie van homogene lineaire tweede-orde GDV's met constante coëfficiënten.
Herleiding van twee gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen tot een homogene lineaire tweede-orde vergelijking
Laat #a#, #b#, #c#, #d#, #p#, #q# constanten zijn, en laat #x#, #y#, #z# functies van #t# zijn.
- Als #\rv{x,y}# een oplossing is van het stelsel van twee gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen \[ \eqs{x' &= &a\cdot x+ b\cdot y\cr y' &=& c\cdot x + d\cdot y}\] dan is zowel #x# als #y# een oplossing van de homogene lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking \[ z''-(a+d)\cdot z'+(a\cdot d-b\cdot c)\cdot z =0\]
- Als #x# en #y# lineair onafhankelijke oplossingen zijn van de lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking \[z''+p\cdot z'+q\cdot z =0\]dan zijn er constanten #a_1#, #b_1#, #c_1#, #d_1#, zodat \[\eqs{x' &= &a_1\cdot x+ b_1\cdot y\cr y' &=& c_1\cdot x + d_1\cdot y}\]
We weten dat het type oplossing van bovenstaande twee-orde GDV afhangt van de discriminant van de bijpassende karakteristieke veelterm \[\lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\] Deze discriminant \(D\) kunnen we herschrijven in termen van het gekoppelde stelsel eerste-orde vergelijkingen: \[D=(a+d)^2-4(a\cdot d-b\cdot c)=(a-d)^2+4b\cdot c\] We hebben nu drie gevallen te onderscheiden (wat voor #x(t)# geldt, geldt ook voor #y(t)#):
- Als \((a-d)^2+4b\cdot c\gt0\) dan zijn er twee reële oplossingen van de karakteristieke vergelijking: \[\lambda_{1,2}=\frac{a+d\pm\sqrt{(a-d)^2+4b\cdot c}}{2}\] en de algemene oplossing voor \(x(t)\) is dan \[x(t)=c_1\cdot \e^ {\lambda_1t}+c_2\cdot \e^ {\lambda_2t}\]
- Als \((a-d)^2+4b\cdot c=0\) dan is er één reële oplossing van de karakteristieke vergelijking: \[\lambda=\frac{a+d}{2}\] en de algemene oplossing voor \(x(t)\) is dan \[x(t)=(c_1+c_2 t)\cdot \e^ {\lambda t}\]
- Als \((a-d)^2+4b\cdot c\lt0\) dan zijn er twee imaginaire oplossingen van de karakteristieke vergelijking: \[\lambda_{1,2}=\alpha\pm{\ii}\,\beta\] met \[\alpha=\frac{a+d}{2}\quad\text{en}\quad\beta=\frac{\sqrt{-(a-d)^2-4b\cdot c}}{2}\] en de algemene oplossing voor \(x(t)\) is dan \[x(t)=\e^ {\alpha t}\cdot\bigl(c_1\cdot \cos(\beta t)+c_2\cdot \sin(\beta t)\bigr)\]
We laten zien hoe de eerste uitspraak van de stelling gebruikt kan worden voor de oplossing van het gekoppelde systeem.
Oplossing van het gekoppelde stelsel eerste-orde vergelijkingen met behulp van de tweede-orde vergelijking
De algemene oplossing van het gekoppelde stelsel differentiaalvergelijkingen \[\eqs{x' &= &a\cdot x+ b\cdot y\cr y' &=& c\cdot x + d\cdot y}\]
kan als volgt gevonden worden:
- Los de lineaire tweede-orde vergelijking \(z''-(a+d)\cdot z'+(a\cdot d-b\cdot c)\cdot z =0\) op; dit levert een paar lineair onafhankelijke oplossingen #u# en #v# van die vergelijking.
- Bijgevolg hebben oplossingen #x# en #y# van het stelsel de vorm #x=A\cdot u+B\cdot v#, respectievelijk #y=C\cdot u+D\cdot v#, voor nog nader te bepalen constanten #A#, #B#, #C#, #D#. Vul deze uitdrukkingen voor #x# en #y# in in het stelsel.
- Het resultaat van de vorige stap is een tweetal gewone lineaire vergelijkingen in de onbekenden #A#, #B#, #C# en #D#. Gebruik deze vergelijkingen om twee ervan in de andere twee uit te drukken.
- Vul de in de vorige stap gevonden uitdrukkingen voor twee van de vier constanten in in de vergelijkingen van stap 2 om de algemene vorm voor #x# en voor #y# te vinden.
\[ \eqs{x' &= &7 x+ 5 y\cr y' &=& -10 x -8 y}\]
Geef je antwoord in de vorm \(x=f(t)\land y=g(t)\), waarbij #f(t)# en #g(t)# functievoorschriften zijn waarin #C# en #D# als integratieconstanten voorkomen.
Volgens de Herleiding van twee gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen tot een homogene lineaire tweede-orde vergelijking zijn de coördinaten #\rv{x,y}# van een oplossing van dit stelsel ook oplossingen van de lineaire tweede-orde GDV \(z''-(7-8) z'+ (7\cdot-8-5\cdot-10) z =0\), die vereenvoudigd kan worden tot
\[z''+ z'-6 z = 0
\]
De karakteristieke vergelijking #\lambda^2+\lambda-6 = 0# heeft oplossing #\lambda=-3\lor\lambda=2#, dus de algemene oplossing van deze tweede-orde vergelijking is
\[z=A\cdot \euler^ {- 3\cdot t }+B\cdot \euler^{2\cdot t}\]
Omdat #x# en #y# ook oplossingen zijn, kunnen we stellen
\[ \eqs{x &= &B\cdot \euler^{2\cdot t}+A\cdot \euler^ {- 3\cdot t } \cr y &=&D\cdot \euler^{2\cdot t}+C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\cr}\]
voor nog nader te bepalen constanten #A#, #B#, #C#, #D#.
Vullen we deze uitdrukkingen voor #x# en #y# in in het gekoppelde stelsel, dan vinden we een stelsel lineaire vergelijkingen waaruit de nader te bepalen constanten gevonden kunnen worden:
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dd}{\dd t}\left(B\cdot \euler^{2\cdot t}+A\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\right) &=&
7 \left(B\cdot \euler^{2\cdot t}+A\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\right)
+ 5 \left( D\cdot \euler^{2\cdot t}+C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\right)\\
\dfrac{\dd}{\dd t}\left(D\cdot \euler^{2\cdot t}+C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\right) &=&
-10 \left(B\cdot \euler^{2\cdot t}+A\cdot \euler^ {- 3\cdot t }\right)
-8 \left( D\cdot \euler^{2\cdot t}+C\cdot \euler^ {- 3\cdot t } \right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de gevonden oplossingen ingevuld}}\\
2\cdot B\cdot \euler^{2\cdot t}-3\cdot A\cdot \euler^ {- 3\cdot t }&=&5\cdot D\cdot \euler^{2\cdot t}+7\cdot B\cdot \euler^{2\cdot t}+5\cdot C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }+7\cdot A\cdot \euler^ {- 3\cdot t } \\ 2\cdot D\cdot \euler^{2\cdot t}-3\cdot C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }&=&-8\cdot D\cdot \euler^{2\cdot t}-10\cdot B\cdot \euler^{2\cdot t}-8\cdot C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }-10\cdot A\cdot \euler^ {- 3\cdot t } \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{afgeleiden berekend en haakjes weggewerkt}}\\
-3\cdot A&=&5\cdot C+7\cdot A \\ -3\cdot C&=&-8\cdot C-10\cdot A \\
2\cdot B&=&5\cdot D+7\cdot B \\ 2\cdot D&=&-8\cdot D-10\cdot B \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vergelijkingen van de coëfficiënten van }\euler^ {- 3\cdot t }\text{ en }\euler^{2\cdot t}}\\
A&=&\displaystyle -{{C}\over{2}} \\ B&=&\displaystyle -D \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineaire vergelijkingen in }A,B,C,D\text{ opgelost}}\\
x&=&\displaystyle -D\cdot \euler^{2\cdot t}-{{C\cdot \euler^ {- 3\cdot t }}\over{2}} \\ y&=&\displaystyle D\cdot \euler^{2\cdot t}+C\cdot \euler^ {- 3\cdot t } \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oplossing ingevuld in functievoorschriften voor }x\text{ en }y}\\
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
