Variatie van constanten

Differentiaalvergelijkingen: Oplosmethoden voor lineaire tweede-orde GDV's

Variatie van constanten

We laten zien hoe een particuliere oplossing gevonden kan worden van een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde als we een tweetal lineair onafhankelijke oplossingen #y_1# en #y_2# van de homogene vergelijking hebben.

Bekijk de differentiaalvergelijking \[y''+p(t)\cdot y'+q(t)\cdot y=g(t)\] in de onbekende functie #y# van #t#, waarbij #p#, #q# en #g# continue functies zijn.

Stel dat #y_1# en #y_2# oplossingen van de bijbehorende homogene vergelijking zijn met Wronskiaan #W# ongelijk aan #0#. Laat #c_1# en #c_2# differentieerbare functies zijn die, elk op een constante na, bepaald zijn door

\[\eqs{c_1'(t) &=& -\frac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g(t)\cr c_2'(t) &=& \frac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g(t)}\]

Dan is \[u(t) = c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\]

een particuliere oplossing van de oorspronkelijke GDV.

Laat #c_1# en #c_2# zijn als aangegeven. Het is eenvoudig na te gaan dat hun afgeleiden voldoen aan de vergelijking

\[c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)=0\]

Het feit dat #u(t)# een particuliere oplossing is, betekent

\[ u''(t)+p(t)\cdot u'(t)+q(t)\cdot u(t)=g(t)\]

Om deze vergelijking uit te werken in termen van #c_1(t)# en #c_2(t)# gebruiken we \(u(t) = c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\) en de bovenstaande vergelijking met #c_1'#, #c_2'#. Eerst berekenen we nog #u'(t)# en #u''(t)#:

\[ \begin{array}{rcl}u'(t) &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\right)\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)+c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som- en product-regel voor differentiëren}}\\ &=&c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovenstaande vergelijking met }c_1, c_2'}\end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl}u''(t) &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\right)\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)+c_1(t)\cdot y_1''(t)+c_2(t)\cdot y_2''(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som- en product-regel voor differentiëren}}\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)-c_1(t)\cdot p(t)\cdot y_1'(t)-c_1(t)\cdot q(t)\cdot y_1(t)\\&&-c_2(t)\cdot p(t)\cdot y_2'(t)-c_2(t)\cdot q(t)\cdot y_2(t)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{y_1\text{ en } y_2\text{ zijn oplossingen van de GDV}}\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)- p(t)\cdot u'(t)-q(t)\cdot u(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }u}\end{array}\]

Het linker lid van de GDV kunnen we nu herschrijven als

\[u''(t)+ p(t)\cdot u'(t)+q(t)\cdot u(t)=c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)\]

De uitspraak dat #u(t)# een oplossing is van de inhomogene vergelijking is dus equivalent met

\[c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)=g(t)\]

Tezamen met de extra voorwaarde hebben we twee lineaire vergelijkingen in de onbekenden #c_1'(t)# en #c_2'(t)#:

\[\eqs{c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)&=&0\cr c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)&=&g(t)\cr}\]

De in de stelling gegeven waarden voor #c_1'(t)# en #c_2'(t)# zijn de unieke oplossing van dit stel lineaire vergelijkingen (dit volgt uit Lineaire algebra omdat de Wronskiaan van #y_1# en #y_2# ongelijk is aan #0#).

Kenners van lineaire algebra kunnen het tweetal lineaire vergelijkingen \[\eqs{c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)&=&0\cr c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)&=&g(t)\cr}\] in matrixvorm schrijven en de oplossing vinden door gebruik te maken van het feit dat de matrix #\begin{pmatrix}y_1(t)&y_2(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t) \end{pmatrix}# inverse #\frac{1}{W(t)}\begin{pmatrix}y_2'(t)&-y_2(t)\\ -y_1'(t)&y_1(t) \end{pmatrix}# heeft.

Bovenstaande methode heet wel variatie van constanten.

De naam variatie van constanten geeft aan dat we constanten #c_1# en #c_2# van de oplossing #c_1\cdot y_1+c_2\cdot y_2# van de homogene vergelijking vervangen door functies van #t# om een particuliere oplossing te vinden.

Bovenstaande methode om een particuliere oplossing te vinden als de homogene oplossingen bekend zijn, werkt altijd, maar is omslachtig. Eerder hebben we de Ansatz-methode besproken om sneller tot een particuliere oplossing te komen. Ook hier is het in enkele veelvoorkomende gevallen mogelijk de aard van de functies #c_1# en #c_2# te raden. We geven hieronder enkele voorbeelden.

Welke oplossing krijg je door de variatie van constanten toe te passen voor de lineaire tweede-orde GDV
\[y''+p\cdot y'+q\cdot y= g\]
met constante coëfficiënten #p#, #q# en #g#, waarbij #q\ne0#?

#y=\frac{g}{q}#

We volgen de variatie van constanten-methode om de gevraagde oplossing te vinden. Deze oplossing heeft de vorm \[c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\]

waarbij #c_1# en #c_2# elk op een constante na bepaald zijn door

\[\eqs{c_1'(t) &=& -\frac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g\cr c_2'(t) &=& \frac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g}\]
waarbij #W# de Wronskiaan is.

Neem nu het geval waarin #D\gt0#. Dan heeft de karakteristieke vergelijking twee oplossingen, zeg #\lambda_1# en #\lambda_2#. Deze voldoen aan #\lambda_1+\lambda_2=-p# en #\lambda_1\cdot \lambda_2=q#. We kunnen nu als basisoplossingen van de homogene vergelijking nemen: #y_1(t)=\e^{\lambda_1\cdot t}# en #y_2(t)=\e^{\lambda_2\cdot t}#. De Wronskiaan van dit paar differentieerbare functies is
\[W(t)= (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{(\lambda_1+\lambda_2)\cdot t}= (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{-p\cdot t}\]

Nu kunnen we de particuliere oplossing berekenen:
\[\begin{array}{rcl}
c_1'(t) &=&-\dfrac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g(t)\\
&=&-\dfrac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{p\cdot t}\cdot \e^{\lambda_2\cdot t}\cdot g\\
&&\phantom{x}\color{blue}{W(t) = (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{-p\cdot t}}\\
&=&-\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\lambda_1+\lambda_2=-p}\\
&\text{en,}&\text{ evenzo, }\\
c_2'(t)&=&\dfrac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g(t)\\&=&\dfrac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{p\cdot t}\cdot \e^{\lambda_1\cdot t}\cdot g\\&=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t}\end{array}\]
Integreren levert, omdat #g# een constante is,
\[\begin{array}{rcl}c_1(t)&=&\displaystyle-\frac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\int \e^{-\lambda_1\cdot t}\,\dd t=\frac{g}{\lambda_1\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\\
&\text{en}&\\
c_2(t)&=&\displaystyle\frac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\int \e^{-\lambda_2\cdot t}\,\dd t=\frac{g}{-\lambda_2\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t}\end{array}\]
De conclusie is
\[\begin{array}{rcl}y(t)&=&c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\\ &=&\displaystyle \frac{g}{\lambda_1\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\cdot\e^{\lambda_1\cdot t} +\frac{g}{-\lambda_2\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t} \cdot\e^{\lambda_2\cdot t} \\
&=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot \left(\dfrac{1}{\lambda_1} -\dfrac{1}{\lambda_2}\right) \\
&=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot \dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\cdot\lambda_2} \\
&=&\dfrac{g}{q}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\lambda_1\cdot \lambda_2=q}
\end{array}\]
De verificatie voor de andere twee gevallen (#D=0# en #D\lt0#) gaat net zo.

Deze oplossing kan ook gevonden worden met het eerste voorbeeld van de Ansatz-methode voor lineaire tweede-orde GDV's.

Nieuw voorbeeld