We hebben gezien dat een eerste-orde GDV van graad één geschreven kan worden als \[y'= \varphi(t,y)\] voor een functie #\varphi# van twee variabelen (als we het domein van de onbekende functie #y# inperken, zodat de coëfficiënt #f(t,y)# van #y'# in de algemene gedaante #f(t,y)\cdot y'=g(t,y)# van de GDV geen nulpunten heeft). Als #\varphi# niet van het tweede argument #y# afhangt, dan staat het oplossen van de vergelijking gelijk aan het primitiveren van de functie #\varphi# van #t#. Het andere uiterste is het volgende geval.
Een eerste-orde GDV heet autonoom als ze geschreven kan worden als \[ y'=\varphi(y)\] voor een functie #\varphi#. Met andere woorden: als het een eerste-orde GDV van eerste graad is die niet afhangt van de onafhankelijke variabele.
Constante functies die oplossingen zijn van de vergelijking #\varphi(y)=0#, heten evenwichtsoplossingen. De bijbehorende oplossingskrommen zijn horizontale lijnen in het richtingsveld van de GDV.
- Als alle oplossingen in de buurt van een evenwichtsoplossing naar het evenwicht convergeren, dan heet de oplossing stabiel.
- Als alle oplossingen in de buurt van een evenwichtsoplossing van het evenwicht weglopen (divergeren), dan heet de oplossing instabiel.
- Als alle oplossingen aan de ene kant van een evenwichtsoplossing van dat evenwicht divergeren en aan de andere kant convergeren naar het evenwicht, dan heet de oplossing semi-stabiel.
Als #\varphi# continu is en #y=a# de enige evenwichtsoplossing is in een open interval rond #a#, dan is die evenwichtsoplossing stabiel, instabiel, of semi-stabiel.
Hier is een voorbeeld van een eerste-orde differentiaalvergelijking die niet autonoom is:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd y}{\dd t}&=&t+y\end{array}\]
Hier is een voorbeeld van een eerste-orde autonome differentiaalvergelijking:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd y}{\dd t}&=&\left(2-{y}\right)\cdot y\end{array}\]De evenwichtsoplossingen zijn #y=0# en #y=2#. Een indruk van de stabiliteit van deze evenwichtsoplossingen is te krijgen door het richtingsveld te tekenen, maar hieronder zullen we een algebraïsche methode geven.
Meer algemeen kunnen we stellen dat een GDV met onbekende functie #y# autonoom heet als ze geschreven kan worden in de vorm
\[y^{(n)} = \Phi(y,y',\ldots,y^{(n-1)})\]
waarbij #n# de orde van de vergelijking is en #\Phi# een functie van #n# variabelen. Voor #n\gt1# hoeft de graad van een autonome GDV dus niet gedefinieerd te zijn.
Voor het bewijs van de laatste uitspraak gebruiken we het volgende feit: als #y# en #y'# continue functies zijn en zowel #\lim_{t\to\infty}y(t)# als #\lim_{t\to\infty}y'(t)# bestaat, dan is #\lim_{t\to\infty}y'(t)=0#. Dit is als volgt uit de Regel van De L'Hôpital af te leiden:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{t\to\infty} y(t)&=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{y(t)\cdot \e^t}{\e^t}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{teller en noemer vermenigvuldigd met }\e^t}\\ &=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{\left(y'(t)+y(t)\right)\cdot \e^t}{\e^t}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Regel van De L'Hôpital}}\\ &=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(y'(t)+y(t)\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{teller en noemer gedeeld door }\e^t}\\ &=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}y'(t)+\lim_{t\to\infty}y(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel voor limieten}}\\ \end{array}\]
Vergelijken we het eindresultaat met de eerste uitdrukking, dan zien we dat inderdaad #\lim_{t\to\infty}y'(t)=0#.
Neem nu aan dat #y=a# de enige evenwichtsoplossing is in het open interval #\ivoo{c}{d}# rond #a# en dat #\varphi# continu is op dit interval. We passen het genoemde feit toe op een oplossing #z# van de autonome GDV met #z(t_0)\in\ivoo{c}{a}# voor een gegeven #t_0# en #z'(t_0)\gt0#.
Vanwege #\varphi(z)=z'(t_0)\gt0# geldt #z'(t)=\varphi(z)\gt0# voor alle #t#. Dus #z# is stijgend. Deze functie is van boven begrensd door #a#, zodat #\lim _{t\to\infty} z(t)# bestaat. Geef deze limiet met #b# aan. Dan geldt verder dankzij de continuïteit van #\varphi#: \[\lim_{t\to\infty}z'(t) = \lim_{t\to\infty}\varphi(z(t))=\varphi(\lim_{t\to\infty}z(t)) =\varphi(b) \] We kunnen dus het bovenstaande feit toepassen en vervolgens concluderen dat #\varphi(b)=0#. Dat betekent dat #b# een nulpunt van #\varphi# is. De aanname dat #y=a# het enige nulpunt in het interval #\ivoo{c}{d}# is, heeft dus tot gevolg dat #b=a#. De conclusie is #\lim _{t\to\infty} z(t)=a#, oftewel: de oplossing #z# convergeert naar de evenwichtsoplossing #y=a#.
Dezelfde soort redenering leidt tot de conlusie dat als #z# een oplossing is met #z(t_0)\in\ivoo{c}{a}# en #z'(t_0)\lt0#, deze oplossing daalt naar #c# en eventueel nog verder, en dus divergeert van de evenwichtsoplossing #y=a#. Net zo is af te leiden dat als #z# een oplossing is met #z(t_0)\in\ivoo{a}{d}# en #z'(t_0)\lt0#, deze oplossing divergeert van #y=a# en dat als #z(t_0)\in\ivoo{a}{d}# en #z'(t_0)\lt0#, de oplossing convergeert naar #y=a#.
Omdat er boven en onder steeds sprake is van convergentie naar of divergentie van #y=a#, zijn er precies vier mogelijkheden voor een evenwichtsoplossing #y=a#:
- als de oplossingen aan beide zijden van de evenwichtsoplossing convergeren, is de evenwichtsoplossing stabiel;
- als ze aan beide zijden divergeren is de evenwichtsoplossing instabiel;
- in de overige twee situaties convergeren de oplossingen aan één kant en divergeren ze aan de andere kant, dus is de evenwichtsoplossing semi-stabiel.
Het kan voorkomen dat een evenwichtsoplossing bestaat op de rand van een interval van waarden van #y# waarvoor een oplossing bestaat. Het evenwicht kan dan niet semi-stabiel zijn, omdat er aan één kant van het evenwicht geen oplossingen bestaan. Een voorbeeld is onderaan de pagina te vinden.
De afgeleide van elke oplossing van een autonome GDV is niet afhankelijk van de onafhankelijke variabele (denk aan de tijd #t#). Dit betekent dat het richtingsveld de eerste hieronder beschreven eigenschap heeft.
Het richtingsveld van een eerste-orde autonome differentiaalvergelijking #y'=\varphi(y)# verandert niet onder horizontale verschuivingen.
Als #y# een oplossing is van deze GDV en #c# is een constante, dan is ook de functie #y_c# gedefinieerd door #y_c(t)=y(t-c)# een oplossing.
De aard van een evenwichtsoplossing #y=a# wordt bepaald door het teken van #\varphi(a+\delta)# voor waarden van #\delta# dicht bij #0#:
- Als #\varphi(a+\delta)\lt0# voor alle positieve #\delta# dicht bij #0# en als #\varphi(a+\delta)\gt0# voor alle negatieve #\delta# dicht bij #0#, dan is #y=a# stabiel.
- Als #\varphi(a+\delta)\gt0# voor alle positieve #\delta# dicht bij #0# en als #\varphi(a+\delta)\lt0# voor alle negatieve #\delta# dicht bij #0#, dan is #y=a# instabiel.
- Als #\varphi(a+\delta)# hetzelfde teken heeft voor alle #\delta\ne0# dicht bij #0#, dan is #y=a# semi-stabiel.
De autonome GDV \[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd y}{\dd t}&=&\left(2-y\right)\cdot y\end{array}\] heeft de evenwichtsoplossingen #y=0# en #y=2#.
Als #\delta# een getal is met een kleine absolute waarde (dat wil zeggen: dicht bij #0#), dan is
- #\varphi(\delta)= \left(2-\delta\right)\cdot \delta# positief als #\delta# positief is en negatief als #\delta# negatief is. Dit betekent dat het evenwicht #y=0# instabiel is.
- #\varphi(2+\delta)=-\frac{1}{2}\delta\cdot\left(2+\delta\right)# negatief als #\delta# positief is en positief als #\delta# negatief is. Dit betekent dat het evenwicht #y=2# instabiel is.
Laat #a# en #b# reële getal zijn. De afgeleide van een oplossing #y# in het punt #\rv{t,y}=\rv{a,b}# is gelijk aan \[y'(a)=\varphi(y)(a)=\varphi(y(a)) = \varphi(b)\] De conclusie is dat de richtingscoëfficiënt aan de integraalkromme door #\rv{a,b}# niet van de eerste coördinaat #a# afhangt, maar alleen van de waarde #b=y(a)# van #y# in #a#.
Laat #y# een oplossing zijn van de differentiaalvergelijking #y'=\varphi(y)# en #c# een constante. Vanwege de kettingregel voor differentiëren voldoet de functie #y_c(t)=y(t-c)# aan
\[\begin{array}{rcl} y_c'(t)&=&\dfrac{\dd}{\dd t}(y(t-c))\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{definitie van }y_c}\\ &=&y'(t-c)\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{kettingregel}}\\ &=&\varphi(y(t-c))\\ &&\phantom{x}\color{blue}{y \text{ is een oplossing van de gegeven GDV}}\\ &=&\varphi(y_c(t))\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{definitie van }y_c} \end{array}\]
Hieruit volgt #y_c'=\varphi(y_c)#. Dit bewijst dat #y_c# een oplossing is van de GDV voor elk getal #c# en elke oplossing #y#.
De criteria voor stabiliteit volgen uit het feit dat een differentieerbare functie #y# dan en slechts dan dalend is in #t# als #y'(t)\lt0#, en dan en slechts dan stijgend in #t# als #y'(t)\gt0#.
Een concreet voorbeeld van een logistische vergelijking is \[\frac{\dd y}{\dd t}=y \cdot \left(1-\frac{y}{4}\right)\] In onderstaande figuur is een oplossingskromme getekend. Experimenteer met de oplossingskromme en bestudeer hoe de lijnelementen lopen in het richtingsveld om achter het gedrag van de oplossingskromme te komen.
Kun je de specifieke oplossing met beginwaarde \(y(0)=2\) vinden?
\( y(t)=\frac{4}{1+\e^{-t}}\)
Later zien we hoe je zo'n oplossing kunt vinden.
Autonome GDV's
