Intégration: Primitives
Règles de calcul des primitives
Comme pour la dérivation, nous pouvons donner une règle pour la somme et une règle pour la constante pour trouver des primitives.
Pour les fonctions #\blue f# et #\purple g# :
\[\begin{array}{c}
\displaystyle \int \blue{f(x)}+\purple{g(x)} \; {\dd}x = \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x + \int \purple{g(x)}\;{\dd}x
\end{array}\]
Exemples
# \begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\
&=& x^2 + 4x + \green {C}
\end {array} #
Pour une fonction #\blue f# et une constante #\orange c# :
\[\begin{array}{c}
\displaystyle \int \orange c \cdot \blue{f(x)} \; {\dd}x = \orange c\cdot \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x
\end{array}\]
Exemple
# \begin{array}{rcl}
\displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\
&=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\green C \\ &=& 3x^3+\green C
\end {array} #
#\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int 3\cdot x^7+2\cdot x^5 \dd x &=&\displaystyle \int 3 \cdot x^{7}\, \dd x + \int 2 \cdot x^5\, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul }\displaystyle \int f(x) + g(x) \, \dd = \int f(x) \, \dd x + \int g(x) \, \dd x}\\
&=&\displaystyle 3 \cdot \int x^{7}\, \dd x + 2 \cdot \int x^5 \, \dd x\\
&&\phantom{xxx}\displaystyle \blue{\text{règle de calcul }\int c\cdot f(x)\,\dd x = c \cdot \int f(x) \, \dd x}\\
&=&\displaystyle \frac{3}{7+1}\cdot x^{7+1}+\frac{2}{5+1}\cdot x^{5+1}\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul }\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{3\cdot x^8}\over{8}}+{{x^6}\over{3}}+C\\
&&\displaystyle\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}
\end{array}#
Comme une primitive est demandée, nous pouvons choisir #C=0#. Donc:
\[F(x)={{3\cdot x^8}\over{8}}+{{x^6}\over{3}}\]
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