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Les intégrales définies sont calculées avec la formule suivante:
\[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)\]
Ainsi, pour calculer une intégrale définie, nous devons d'abord déterminer la primitive de la fonction:
\[\begin{array}{rcl}
F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition du primitif}}\\
&=&\displaystyle \int 7 x \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué }f(x)=7 x \text{ dans l'equation}}\\
&=&7\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ avec }c=7}\\
&=&7 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ avec }n=1}\\
&=&\displaystyle \frac{7}{2} x^2 + C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\
&=&\displaystyle \frac{7}{2} x^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omis la constante d'intégration}}\\
\end{array}\]
Maintenant que la primitive est connue, l'intégrale définie peut être calculée:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition d'une intégrale définie}}\\
\displaystyle \int_{-5}^{5} 7 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(\frac{7}{2} (5)^2\right) - \left(\frac{7}{2} (-5)^2\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué les valeurs limites dans la primitive}}\\
&=&\displaystyle{{175}\over{2}}-{{175}\over{2}}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\
&=&\displaystyle 0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}
\end{array}\]