Dérivation: Applications de la dérivation
Dérivée seconde
La dérivée #f'# d'une fonction #f# peut être dérivée à nouveau. Nous appelons cela la dérivée seconde de #f#.
Pour une fonction #\blue{f(x)}#, nous désignons la dérivée seconde par:
\[\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)\]
Exemple
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}\]
La dérivée seconde est utile pour déterminer les extremums d'une fonction #f(x)#. Nous avons vu précédemment que la condition #f'(c)=0# n'implique pas nécessairement que #c# correspond à un extremum. Le théorème suivant nous aidera à déterminer si une telle valeur correspond à un extremum ou non.
Si pour une fonction #\blue{f(x)}# et un point #x=\purple{c}# nous avons
- #\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0#
- #\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0#,
alors #\blue{f(x)}# a un extremum en #\purple{c}#.
Si #\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0#, alors #\purple{c}# correspond à un minimum local. Si #\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0#, alors #\purple{c}# correspond à un maximum local.
voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\
\orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\
\green{f''(x)}&=&\green{4}\\
\orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\
\green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}\]
Simplifiez votre réponse autant que possible.
Nous calculons d'abord la dérivée première en utilisant la dérivée d'une puissance.
\[f'(x)=18\cdot x^2-4\]
Nous calculons ensuite la dérivée seconde de la même manière.
\[f''(x)=36\cdot x\]
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