La valeur la plus grande d'une partie d'un graphe est appelée un maximum local.
La valeur la plus petite d'une partie d'un graphe est appelée un minimum local.
Les deux sont des extremums d'une fonction.
Si nous considérons une fonction sur un domaine restreint, les valeurs aux bornes du domaine peuvent également être un maximum ou minimum local et donc un extremum.
Par exemple, nous pouvons considérer la fonction #f(x)=x^2# sur le domaine #\ivcc{2}{5}#. Nous avons maintenant un minimum local en #x=2# et un maximum local en #x=5#. Si #x^2# est considérée sur son domaine de définition, alors nous avons seulement un minimum local en #x=0#.
Dans ce cours, nous avons souvent examiné les valeurs #x# des points spéciaux, mais les maxima et minima sont les valeurs #y# de ces points.
Ainsi, un maximum local du graphe vert dans l'exemple ci-contre est #3,5# et #\red{\text{non pas}}# #0#. Un minimum local du graphe bleu est #0,5# et #\red{\text{non pas}}# #0#.
Nous avons vu que les maxima et minima locaux sont les points extrêmes d'une partie du graphe. Les maxima et minima globaux sont les points extrêmes du graphe entier.
Pour le graphe vert, le maximum local est également global. De même, pour le graphe bleu, le minimum local est également global. Ce n'est pas toujours le cas.
Même s'il y a des maxima et minima locaux, il peut n'avoir pas de maximum ou minimum global.
En utilisant la dérivée, nous pouvons facilement calculer les valeurs extrêmes d'une fonction.
Si une fonction #\blue{f(x)}# a un maximum ou un minimum local en #x=\orange{c}# alors #\green{f'(\orange{c})}=0#.
Exemple
\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{x^2}\\ \green{f'(x)}&=&\green{2x}\\ \green{f'(\orange{0})}&=&0\end{array}\]
La fonction doit également être dérivable au point #x=\orange{c}#. Dans ce cours, nous ne considérons pas de fonctions qui ne sont pas dérivables, mais cela peut se produire dans la pratique.
Si la dérivée en un point est égale à zéro, la tangente à la fonction est horizontale.
Ce théorème ne tient pas si #c# est une borne du domaine de définition de la fonction. Par exemple, si nous prenons #f(x)=x^2# sur le domaine #\ivcc{2}{5}#, alors #2# et #5# sont des valeurs extrêmes, mais la dérivée n'est pas égale à #0# dans ces points.
Le théorème tient seulement dans un sens. Si la dérivée #\green{f'(x)}# d'une fonction #\blue{f(x)}# est égale à #0# en un point #\orange{c}#, cela ne signifie pas immédiatement que #\blue{f(x)}# admet un extremum en #\orange{c}#. Par exemple, la dérivée de #\blue{f(x)=x^3}# est égale à #0# en #\orange{0}#, mais n'a évidemment pas d'extremum en ce point.
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Étape par
étape
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Exemple
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Déterminez les extremums d'une fonction #f(x)#. Déterminez pour chaque extremum s'il s'agit d'un minimum local, maximum local ou ni l'un ni l'autre.
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#\qqquad \begin{array}{rcl}f(x)\phantom{'}&=&x^4-2x^2\end {array} #
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| Étape 1 |
Calculez la dérivée #f'(x)#.
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#\qqquad \begin{array}{rcl}f'(x)&=&4x^3-4x\end {array} #
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| Étape 2 |
Résolvez #f'(x)=0# pour trouver les valeurs #x# des extremums éventuels.
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#\qqquad \begin{array}{rcl} 4x^3-4x&=&0\\ x&=&0 \lor 4x^2-4=0\\ x&=&0\lor x^2=1\\ \green{x}&\green{=}&\green{0} \lor \blue{x=-1} \lor\orange{x=1}\end {array} #
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| Étape 3 |
Tracez le graphe pour savoir quels sont les points qui sont des maximums locaux ou des minimums locaux (ou ni l'un ni l'autre).
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| Étape 4 |
Substituez les valeurs obtenues #x# dans #f(x)# et déterminez les valeurs extrêmes de cette façon.
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#f(\blue{-1})=-1#,
#f(\orange{1})=-1#,
#f(\green{0})=0#
Donc, le minimum local est #-1# et
le maximum local est #0#
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Le calcul d'extremums de fonctions est quelque chose qui apparaît souvent dans des problèmes d'optimisation. Ces problèmes sont décrits par des fonctions dont il faut déterminer un minimum ou un maximum.
Voici un exemple très simple. Supposons qu'un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire et qu'il a acheté #500# mètres de clôture. L'agriculteur veut maximiser la surface clôturée et veut ainsi savoir le meilleur rapport du rectangle. Nous notons d'abord que cette surface #A# est donnée par #x\cdot y#, où #x# est la largeur et #y# est la longueur du rectangle. L'agriculteur a acheté #500# mètres de clôture qui doit être répartie sur la largeur et la longueur, ce qui nous donne #2x+2y=500#. En réduisant l'équation par rapport à #y#, nous obtenons \[y=250-x\] Nous substituons ceci dans l'équation de la surface \[A=x\cdot(250-x) = 250\cdot x - x^2\] C'est la fonction dont nous devons déterminer le maximum. Conformément à l'approche étape par étape, nous obtenons #x=125#. Ainsi, l'agriculteur doit clôturer une surface carrée afin de maximiser la surface clôturée.
Dans la plupart des applications, les fonctions sont très compliquées et contiennent plusieurs variables. Cependant, nous n'allons pas étudier de tels problèmes dans ce cours.
Alternativement à l'étape #3#, nous pouvons utiliser un tableau des signes. À l'étape #2#, nous avons trouvé les racines #x_1,\ldots, x_n# de la dérivée #f'(x)#. Par définition, il n'y a pas de racines dans les intervalles #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}#. Cela signifie que les valeurs de #f'(x)# dans un tel intervalle sont toutes positives ou négatives. Si nous prenons un point dans l'intervalle et le substituons dans #f'(x)# nous savons immédiatement le signe de l'intervalle: positif ou négatif. Nous résumons maintenant les signes sur les différents intervalles dans un tableau des signes
| Intervalle |
#\ivoo{-\infty}{x_1}# |
#x_1# |
#\ivoo{x_1}{x_2}# |
#x_2# |
#\ldots# |
#x_n# |
#\ivoo{x_n}{\infty}# |
| Signe |
#+# ou #-# |
#0# |
#+# ou #-# |
#0# |
#\ldots# |
#0# |
#+# ou #-# |
Nous pouvons utiliser ce tableau des signes pour déterminer si une racine #x_1# de #f'(x)# correspond à un maximum local, un minimum local, ou ni l'un n' l'autre. Cela se fait en tenant compte des signes des intervalles qui entourent la racine qui sont #\ivoo{x_{i-1}}{x_i}# et #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}#.
- Si le signe de #\ivoo{x_{i-1}}{x_i}# est positif et le signe de #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}# est négatif, #x_i# correspond à un maximum local.
- Si le signe de #\ivoo{x_{i-1}}{x_i}# est négatif et le signe de #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}# est positif, #x_i# correspond à un minimum local.
- Si le signe de #\ivoo{x_{i-1}}{x_i}# est positif et le signe de #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}# est positif, #x_i# ne correspond pas à une valeur extrême.
- Si le signe de #\ivoo{x_{i-1}}{x_i}# est négatif et le signe de #\ivoo{x_i}{x_{i+1}}# est négatif, alors #x_i# ne correspond pas à une valeur extrême.
Dans l'exemple, nous avons trouvé les racines #x_1=-1, x_2=0# et #x_3=1#. Nous obtenons ainsi le tableau des signes suivants.
| Intervalle |
#\ivoo{-\infty}{-1}# |
#-1# |
#\ivoo{-1}{0}# |
#0# |
#\ivoo{0}{1}# |
#1# |
#\ivoo{1}{\infty}# |
| Signe |
#-# |
#0# |
#+# |
#0# |
#-# |
#0# |
#+# |
Nous voyons que les deux valeurs #x=-1# et #x=1# correspondent à un minimum local, et que #x=0# correspond à un maximum local.
Donnez les deux valeurs de #x# pour lesquelles la fonction #f# donnée par \[f(x)=x^3-6x^2+9x+2\] admet un extremum (minimum local ou maximum local).
La plus petite valeur de #x# est désignée par #x_-# et la plus grande valeur par #x_+#. Donnez vos réponses sous forme d'une fraction irréductible.
#x_-=# #1# et #x_+=# #3#
| Étape 1 |
Nous déterminons la dérivée de #f(x)=x^3-6x^2+9x+2#.
\[f'(x)=3x^2-12x+9\] |
| Étape 2 |
Nous déterminons les valeurs #x# des extremums éventuels en posant la dérivée égale à #0# et en résolvant l'équation.
\[\begin{array}{rcl}3x^2-12x+9&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\
x=\frac{12-\sqrt{(-12)^2-4\cdot 3\cdot 9}}{2\cdot 3} &\lor& x=\frac{12+\sqrt{(-12)^2-4\cdot 3\cdot 9}}{2\cdot 3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule quadratique}}\\
x=\frac{12-\sqrt{36}}{6} &\lor& x=\frac{12+\sqrt{36}}{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\
x=\frac{12-6}{6} &\lor& x=\frac{12+6}{6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\
x=1 &\lor& x=3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\end{array}\] |
| Étape 3 |
Nous traçons le graphe de #f(x)#.
Ainsi, il y a un maximum local en #x=1# et un minimum local en #x=3#. Donc les deux valeurs obtenues #x# sont des extremums.
Finalement, #x_-=1# et #x_+=3# |
Extremums
