Dérivation: Dérivée
Taux de variation en un point
En utilisant le taux de variation, nous pouvons approcher la variation proche d'un point sur le graphe.
Nous voulons approcher la variation au point #\green{x}=\green{2}# pour la fonction #\blue{f(x)}=\blue{x^2}#. Pour ce faire, nous prenons le taux de variation sur un intervalle autour de #\green{2}# : \[[\green{2},\green{2}+\orange{h}],\]
dans lequel nous choisissons un plus petit #\orange{h}# chaque fois.
Le plus petit nous choisissons #\orange{h}#, le mieux nous pouvons voir le variation au point. Nous voyons que ces valeurs se rapprochent de plus en plus de #4# en choisissant des valeurs plus petites pour #\orange{h}#. Le taux de variation en un point est aussi appelé la pente.
Nous pouvons approcher le taux de variation en un point #x=a# pour chaque fonction en déterminant le taux de variation sur l'intervalle #[a,a+h]#.
Le taux de variation sur un intervalle de longueur h
Pour une fonction #\blue{f}#, le taux de variation en un point #\green{x}=\green{a}# de variation #\orange{h}# est défini comme suit:
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(\green{a}+\orange{h})-f(\green{a})}{\orange{h}}\]
Nous pouvons garder #\orange{h}# dans nos calculs.
Exemple
#\blue{f(x)}=\blue{x^2}# et #\green{a}=\green{4}# donne:
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{(\green{4}+\orange{h})^2-\green{4}^2}{\orange{h}}\\&=& \dfrac{16+8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2-16}{\orange{h}} \\&=& \dfrac{8\cdot\orange{h}+\orange{h}^2 }{\orange{h}} \\&=& 8+\orange{h}\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=& \dfrac{f(5+h)-f(5)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition du taux de variation en }x=5 }\\&=&\dfrac{3\cdot(5+h)+3-(3\cdot5+3)}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }5 \text{ dans }f}\\
&=&\dfrac{15+3\cdot h -15}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{développement des parenthèses}}\\&=&\dfrac{3\cdot h}{h}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{addition}}\\&=&3\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification par }h}\end{array}#
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