Taux de variation sur un intervalle

Dérivation: Dérivée

Taux de variation sur un intervalle

Les variations joue un rôle majeur dans l'étude des mathématiques et en particulier dans l'étude des fonctions. Dans l'exemple suivant, nous examinons la variation moyenne sur un intervalle choisi.

Nous calculons la variation moyenne de la fonction #f(x)=2x-2# sur l'intervalle #[2,4]#.

Le changement horizontal #\blue{\Delta x}# est: \[\blue{\Delta x} = 4 - 2 = \blue{2}\] Le changement vertical #\green{\Delta y}# est: \[\green{\Delta y} = f(4)-f(2)=6 - 2 = \green{4}\] Ainsi, la variation moyenne est:

\[\frac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}} = \frac{\green{4}}{\blue{2}}=2\]

Notez que la notation #[a,b]# pour un intervalle peut également être utilisée pour les coordonnées.

plaatje

Application en physique

De la même manière, nous pouvons calculer la vitesse moyenne d'un avion. Imaginez un avion qui parcourt #4800# mètres en #20# secondes. La vitesse moyenne de l'avion est #\frac{4800}{20}=240# mètres par seconde.

Fonctions affines

Pour les fonctions affines, comme dans l'exemple, la variation moyenne sur chaque intervalle est la même. Supposons que nous ayons la fonction #f(x)=px+q#. La variation moyenne sur chaque intervalle #[a,b]# est donnée par
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{p\cdot b + q - (p\cdot a +q)}{b-a}=\frac{p\cdot b + q - p\cdot a -q}{b-a}=\frac{p\cdot(a-b)}{a-b}=p
\]

Nous appelons également la variation moyenne sur un intervalle le taux de variation.

Taux de variation

Le taux de variation d'une fonction #f# sur un intervalle #[a,b]# est donné par:

\[\dfrac{\green{\Delta y}}{\blue{\Delta x}}=\dfrac{\green{f(b)-f(a)}}{\blue{b-a}}\]

plaatje

Considérez la fonction #f(x)=2 x^3 + 3 x + 1#. Quel est le taux de variation sur l'intervalle #[3,4]#? Simplifiez votre réponse autant que possible.

#\frac{\Delta y}{\Delta x}=# #77#

#\begin{array}{rcl}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=&\dfrac{f(4)-f(3)}{4-3}\\&&\phantom{xxx}\blue{a=3 \text{ et }b= 4}\\
&=&\dfrac{(2\cdot 4^3+3\cdot 4 + 1)-(2\cdot3^3+3\cdot3 + 1)}{4-3}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }x=3 \text{ et } x=4 \text{ dans } f}\\ &=& \dfrac{77}{1}\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{addition}}\\ &=&77\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{division}}\end{array}#

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