Dérivée d'un quotient

Dérivation: Dérivée d'un quotient

Dérivée d'un quotient

Nous avons vu précédemment que nous pouvons multiplier et composer des fonctions. Nous pouvons également diviser les fonctions. Nous appelons le résultat un quotient. Le quotient des fonctions #\blue{g(x)}=\blue{x^3+1}# et #\green{h(x)}=\green{x+1}# est la fonction #f(x)=\frac{\blue{x^3+1}}{\green{x+1}}#. Nous appelons #\blue{g(x)}# le numérateur et #\green{h(x)}# le dénominateur.

Pour le quotient de deux fonctions \[f(x)=\dfrac{\blue{g(x)}}{\green{h(x)}}\] nous avons:

\[f'(x)=\dfrac{\green{h(x)}\cdot \orange{g'(x)}-\blue{g(x)}\cdot \purple{h'(x)}}{(\green{h(x)})^2}\]

Exemple

\[f(x)=\dfrac{\blue{2x}}{\green{x+1}}\] donne \[f'(x)=\dfrac{(\green{x+1})\cdot \orange{2}-\blue{2x}\cdot \purple{1}}{(\green{x+1})^2
}\]

Nous pouvons facilement démontrer la dérivée d'un quotient à l'aide de la dérivée d'un produit. Supposons que nous ayons une fonction #f# de la forme #f=\frac{g}{h}#. En multipliant les deux membres par #h#, nous obtenons #g=h\cdot f#. En appliquant la dérivée d'un produit, nous obtenons
\[g'=h'\cdot f + h\cdot f'\]
Nous pouvons réécrire cela
\[h\cdot f'=g'-h'\cdot f\]
Diviser les deux membres par #h# donne
\[f'=\frac{g'-h'\cdot f}{h}\]
Nous pouvons remplacer #f=\frac{g}{h}#
\[f'=\frac{g'-h'\cdot \dfrac{g}{h}}{h}\]
Finalement, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par #h#
\[f'=\frac{g'\cdot h-h'\cdot g}{h^2}\]

Nous pouvons suivre la procédure étape par étape ci-dessous pour appliquer la dérivée d'un quotient.

Procédure étape par étape de la dérivée d'un quotient

	Étape par étape	Exemple
	Considérons #f(x)# qui est un quotient de deux fonctions.	#\dfrac{\sin(x)}{x^2+1}#
Étape 1	Distinguez le numérateur #\blue{g(x)}# et le dénominateur #\green{h(x)}#.	#\blue{g(x)}=\blue{\sin(x)}# #\green{h(x)}=\green{x^2+1}#
Étape 2	Calculez #\orange{g'(x)}# et #\purple{h'(x)}#.	#\orange{g'(x)}=\orange{\cos(x)}# #\purple{h'(x)}=\purple{2x}#
Étape 3	Calculez la dérivée de #f# selon la formule suivante : \[f'(x)=\dfrac{\green{h(x)}\cdot \orange{g'(x)}-\blue{g(x)}\cdot \purple{h'(x)}}{(\green{h(x)})^2}\]	#\dfrac{(\green{x^2+1})\cdot \orange{\cos(x)}-\blue{\sin(x)}\cdot \purple{2x}}{(\green{x^2+1})^2}#

Calculez la dérivée de #f(x)=\frac{2\cdot x^2+3}{3\cdot x^4+2}#.

#f'(x)=# #{{-12\cdot x^5-36\cdot x^3+8\cdot x}\over{\left(3\cdot x^4+2\right)^2}}#

Étape 1	Nous déterminons #g(x)# et #h(x)# telles que #f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}#. #\begin{array}{rcl} g(x)&=&2\cdot x^2+3\\ h(x)&=&3\cdot x^4+2\end{array}#
Étape 2	Nous calculons #g'(x)# et #h'(x)#. #\begin{array}{rcl} g'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(2\cdot x^2+3\right)\\ &&\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=&4\cdot x\\ &&\blue{\text{dérivée d'une somme, d'une puissance et d'un facteur constant}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(3\cdot x^4+2\right)\\ &&\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=&12\cdot x^3\\ &&\blue{\text{dérivée d'une somme, d'une puissance et d'un facteur constant}}\end{array}#
Étape 3	#\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}f(x)&=&\dfrac{h(x)\cdot g'(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}\\ &&\blue{\text{dérivée d'un quotient}}\\ &=&\dfrac{4\cdot x\cdot (3\cdot x^4+2)-12\cdot x^3\cdot (2\cdot x^2+3)}{(3\cdot x^4+2)^2}\\ &&\blue{\text{substitution}}\\ &=&\displaystyle {{-12\cdot x^5-36\cdot x^3+8\cdot x}\over{\left(3\cdot x^4+2\right)^2}}\\ &&\blue{\text{simplification}} \end{array}#

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