Dérivation: Dérivée de fonctions composées
Dérivée de fonctions composées
Nous appelons la dérivée d'une fonction composée également la règle de dérivation en chaîne (selon l'appellation anglaise). La règle de la chaîne, nous donne un moyen de calculer la dérivée d'une fonction composée.
Pour une fonction composée #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}#, nous avons:
\[\begin{array}{c}
f'(x)=\orange{g'(\green{h(x)})}\cdot \purple{h'(x)}
\end{array}\]
f'(x) &=& \orange{4(\green{x^2-5x})^3} \cdot \purple{(2x-5)}
\end{array}\]
Pour utiliser la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons appliquer la procédure étape par étape suivante.
| Procédure étape par étape de règle de la chaîne |
Étape par étape |
Exemple |
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Calculez la dérivée d'une fonction composée: #f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}#. |
#\qqquad \begin{array}{rcl} f(x)\phantom{'}&=&(x^2-1)^3\end {array} # |
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| Étape 1 |
Déterminez les fonctions #\blue{g(x)}# et #\green{h(x)}# de la fonction composée #f(x)#. |
#\qqquad \begin{array}{rcl}\blue{g(x)}\phantom{'}&=&\blue{x^3}\\ \green{h(x)}\phantom{'}&=&\green{x^2-1}\end {array} # |
| Étape 2 |
Calculez les dérivées #\orange{g'(x)}# et #\purple{h'(x)}#. |
#\qqquad \begin{array}{rcl}\orange{g'(x)}&=&\orange{3x^2}\\ \purple{h'(x)}&=&\purple{2x}\end {array} # |
| Étape 3 |
Calculez la dérivée de #f# à l'aide de la formule: \[\begin{array}{c} |
#\qqquad \begin{array}{rcl} f'(x)&=& \orange{3(\green{x^2-1})^2}\cdot \purple{2x}\\&=&(3x^4-6x^2+3)\cdot \purple{2x}\\&=& 6x^5-12x^3+6x\end {array} # |
| Étape 1 | Nous distinguons #g(x)# et #h(x)# par lesquelles #f(x)# est composée. En d'autres mots, les fonction pour lesquelles #f(x)=g(h(x))#. #\begin{array}{rcl} g(x)&=&\displaystyle \sqrt{x}\\ h(x)&=& \displaystyle8-x^2\end{array}# |
| Étape 2 | Nous calculons les dérivées #g'(x)# et #h'(x)#. #\begin{array}{rcl} g'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=& \displaystyle{{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(x)&=& \displaystyle\dfrac{\dd}{\dd x}\left(8-x^2\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=& \displaystyle-2\cdot x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme et d'une puissance}}\end{array}# |
| Étape 3 | Nous calculons la dérivée #f'(x)#. #\begin{array}{rcl} f'\left(x\right)&=& \displaystyle g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle de la chaîne}}\\ &=& \displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{h\left(x\right)}}}\cdot -2\cdot x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }g' \text{ et }h'}\\ &=& \displaystyle\displaystyle {{1}\over{2\cdot \sqrt{8-x^2}}} \cdot (-2\cdot x)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ substitution de }h(x)}\\ &=& \displaystyle -{{x}\over{\sqrt{8-x^2}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}# |
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